О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве нового применения теоремы 1 приведем такое предложение [lb, llbj.
а) Для того, чтобы существовала неубывающая функция о (t) (— т -< ? <5 т), удовлетворяющая уравнениям
ck = J ekilda (t)
(?-0, 1, 2/...),
где {Cft} заданная конечная или бесконечная последовательность комплексных чисел (с0>0), необходимо и достаточно, чтобы теплицевы формы
Л—1
(14)
% сj^klj%k, 2 {cj-k+i j, ft=0 j, ft=0
- 2 cos t cj_k + cj^k+1} sa
были неотрицательны при любом га, если последовательность {ck} бесконечна, и при«= т, если она содержит т+1 членов.
Действительно, как можно показать, всякий неотрицательный в интервале (— т, т) тригонометрический полином
Tn(t)= S ^ekil
ft = —я
допускает следующее представление
(а*«а*; ?«=0, 1,.. .га)
(15)
ft=0
Ф (cos? — cost)
я—1
л-1
= ? ?('-*)*? Sit+ -L S [<?</-*+»« _ 2 cos v>U-*) « + <?</-*->>«]
/, ft=o
3, ft=о
В самом деле, если полинои Tn (t) неотрицателен в интервале (— х, х), то ои имеет четное число нулей ^1C <2С ... С tsm в замкнутом интервале <т, 2к — х>, и следовательно, допускает представление
2т
MO=GtfJbin^, ft=i
\
где G (<) неотрицательный всюду тригонометрический полниом порядка п — 2т. С друюй стороны,
С)
sin <fc - - Л* sin -^rL + Bk sin x^t
130. где
, T + tk , tic —V
Sin —— sin ——
Ak =-±->0, Bk=----- >0 (ft= 1,2,... ж).
StH X Sln T
Принимая во внимание, что
X — Ф . ¦ T 4-е 1 . ,
sin —sin -Ч~ = (cos і — cos <р),
мы, перемножая выражения (*), найдем, что tk-t
PJsin la— _ (<) + S1 (t) (COS X-COS О,
/S=I
где /?1 (О и S1 (t) — некоторые всюду неотрицательные полиномы соответственно порядков т и т— 1. Отсюда
Tn (0 - R (t) + (cos -с — cos t) S (t),
где R (t) и S (t) неотрицательные всюду тригонометрические полиномы соответственно порядков пил—1. Но последнее представление эквивалентно представлению (15), если принять во внимание теорейу Fejer'a - Riesz'a о представлении всюду неотрицательного тригонометрического полинома (см. стр. 15 статьи I).
Следовательно, последовательность {с*} будет ненегативна относительно последовательности функций {еш} рассматриваемых в интервале (— т, х), если для всякого полинома Tn(t) вида (15)
я п _ л—1
& { 7^} = *kCk = 2 2 (c/-fe+i— 2 cos +
—n j, A=O Л A=O
+ ^ } -Tljfjk > 0.
Так как в этом неравенстве числа S;, гц все независимы между собой, те оно эквивалентно условию неотрицательности двух форм (14).
Докажем еще такое предложение [8, lib], b) Для того, чтобы двум системам комплексных чисел {wk} и (} (8z* >0; ?=1, 2,. .^соответствовала неубывающая функция а (і) (а ^ t-^b) такая, что
ь
Wk =IT=Tk (к = 1> 2"~пї>
а
необходимо и достаточно, чтобы эрмитовы формы
л
П Wj(г/ — a)—Wk(Zk — а)
ini Zj-Zk _
Л A=I Л A=I
^ Ь Wj (b-Zj)-W^b-Zk)
Li 2/ — Zk
131. были неотрицательны при любом п, если последовательность {zkj (а следовательно, и ' {wk}) бесконечна, и при я =/и, если последовательность 1?} содержит всего лишь т, членов.
Действительно, пользуясь теоремой Lucasz'a,1 всякую неотрицательную функцию
ж*)-У-г-+!}3=*0
Lmt- Zk Lmt- Zk 1 1
можно представить в следующем виде:
2я—X п—1
4*
Я—1
g(t)"
? V
п 2
ПС-Z*)
1
- = {t — a)
П (<-**) і
+ (b-t)
SV*
П {t-zk)
,(*-«)!V I2
L.t-
і
¦ч
или в силу тождеств t — а
1
+(*-<) 12
1
I zJi~ а
(t-Zk) (t-Zl)
ь - t
Zk-Zl \ t — Zk 1 I o-zk
I2
t г,. I
Si — а I t-zi I
Zk ¦
Zk
t-Zl j '
в виде
(t -Zk) (t-Zl)
. Jmm Zk- гЛ t — Zk t — Zl I
к, 1,,1 rt
+ У 1 ) b-Zk ь~гі\
>, гк ^ t — Zk t— zi I
Щ Ii-
Следовательно, последовательность {wk}" будет ненегативна
( 1 \п
относительно последовательности --I , если
я п я
}a.k Wk л- } IkWk = > ---=-+
k, г=г
Zk — Zl
+
к, I=1
Wk (Ь — Zk) —Wi (b — Zi) Zk-Zi
Т)к1)1> О
при любых Ik и Tjft (k—1, 2,.. .л), что и доказывает приложение Ь).
1 См. стр. 36.
132. § 2
Пусть теперь / означает конечный или бесконечный (в одну или обе стороны) замкнутый интервал действительной оси. Пусть по прежнему E обозначает некоторый ансамбль комплексных функций, определенных на I, a E означает вещественную лигіейную оболочку вещественных и мнимых частей функций из Е.
Условимся называть функцию <р(?)'СE нормальной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1°. Функция %(t) непрерывна в / всюду за исключением конечного числа точек а,, а2, ... а„, (меняющихся, ВООбще ГОВОРЯ, вместе Ctt).
2°. Функции ({»соответствует, по крайней мере, одна неотрицательная функция ш9(і)СЕ, обладающая тем свойством, что
(16) S^T0 (І-1.2....Я),
а также, если / бесконечный интервал, свойством
(17) Hm ^ = O (t С /).
t OO tp V '
Пусть <p(t) (tС/) — некоторая функция, удовлетворяющая условию 1°, ao(t)(t(.I) — некоторая неубывающая функция. Рассмотрим интервал
(18) /<р (t)da (t),
где /' получается из / удалением произвольных окрестностей точек а,,..., ат, оо. Если при неограниченном стягивании (по произвольному закону) этих окрестностей к нулю интеграл (18) стремится к некоторому пределу, то этот предел мы будем обозначать через
