Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
20.7.9. ch (z + in) = е**сЬ (z), ch (z - ї тс) = C-inCh(Z), M(z, 0)= 1,
\M(z, 7c)]-v^ = e~*™M(z, 0).
Пусть
20.7.10. G(z, q) = — J ЛГх(в, 0 КД0 dt (Re г > 0),
0
Где Fv(J) определено формулой 20.3.8. Можно проверить, что КУЬ\ удовлетворяет 20.7.3, К удовлетворяет 20.7.2 и 20.7.4. Следовательно, G является решением уравнения 20.1.2 (с заменой и на z). Можно показать, что K1 может быть заменена более общей функцией
20.7.11. Кг(г, t) -- ZiJU(U) [M(z,
s — любое целое число. Zv+ 2s(«) определяется соотношениями 20.4.7.
35 — под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кармазиной
НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Из известных разложений для Zv+2s("), когда Rfi Z велико и положительно, следует
20.7.12. Mlf\z, q) =
ncss J Lch (z — it) A
0
(Re z> 0, Re (v + 1/2) >0),
где Mv\z, q) задается разложением 20.4.12, s = 0, 1.....
C2« Ф 0 и Fsfa) — решение Флоке 20.3.8.
Ядро Ks(z, t, а)
20.7.13. K3(z, U а) = е2i^vt
где
20.7.14. W = ch z cos a cos t + sh z sin a sin t.
20.7.15. G(z, q, a) = — ^ e2i^wF4(t) dt,
C
где F/J) — решение Флоке 20.3.8.
Путь С выбран так, что G'(z, t, сі) существует и выполняются условия 20,7.2 и 20.7.3. Тогда можно доказать, что ядро K3(z, t, а), рассматриваемое как функция z и C1 удовлетворяет уравнению 20.7.4, и рассматриваемое как функция ant, удовлетворяет уравнению 20.7.5. Следовательно, G(z, q, a) = Y(z, q) у(а, q\ где Y и у удовлетворяют уравнениям 20.1.2 и 20.1.1 соответственно.
Выбор пути С. Пути будут определены тремя способами:
20.7.16.
Путь C8: от — dx + ДО ^a — ^i. ^s действительны, —di < arg [-Jq (ch (z + ia) ± 1}] < я — dlt —dz < arg [ -Jq {ch (z - ia) ± 1}] < я - dz.
20.7.17.
Путь C1: от ds — /оо до 2тс 4- ice — J1 (J1 и d2 те же, что и в 20.7.16).
—tVTc/2 с .. /—
20.7.18. ад Mj(z, q) - --& о1'«-ад Л
с>
U - 3, 4),
где МІ (z, q) определена в 20.4.12.
20.7.19. Путь C1: от —dx + /со до 2те — J1 + /со,
fMKPfc
C1
(см. [20.36], п. 2.68).
Если V — целое, можно взять более простые пути интегрирования, так как в этом случае FJf) — периодическая функция и интегралы берутся от 0 до 2тс. Возможны и дальнейшие упрощения, если, кроме того, z действительно.
Далее приводятся наиболее важные интегральные представления периодических функций cer(z,q), $er(z,q) и соответствующих радиальных решений. 546
20. функции матье
Пусть г = 2s 4• р, P-Q или 1. Тогда
n/2
20.7.20. cer(z, ?) = pr ^ cos ^2 V? cos z cos t —
о
- P j ce,(t, q) Л,
*/a
20.7.21. cer(z, ?) = or ^ ch(2 -Jq sin г sill 0 X
о
X ftl — p) + p cos z cos Ij cer{t, q) dt,
n/2
20.7.22. se?z, q) = pr (j sin ^2 Jq cos 2 COS t 4-
0
+ D — I sin z sin t seT(t, q) dt, 2 )
ri?
20.7.23. 5еГ(г, q) = ar ^ sh (2 Jq sin z sin 0 X
0
X [(1 — p) cos z cos t + p] seT(t, q) dt,
Le--
20.7.24. pr = ~ ceZ3 , q^J Af (q), если p = Of
pr = - 1 ce'2S+1 ^ . q^jUqAf+\q)),
если Ps=I,
для функций cer(z, ?);
Pr = - ~ Se23 , gj j(JqB\s(q)), если p = 0,
Pr= ^ - tfj j ВГ+1(д), если p = 1,
для функций 5Єг(г, g);
Gr = — ce2s(0, q)lAf(q), если p = Ot
Tt 4
сгГ = — се2,41(0, q)!Af+Kq), если р = 1, я
для функций cer(z, q);
cf = - se'v(0, q)iWqB\\q)), если p = 0,
Tt
ay = — 5Є*+і(0, q)!(JqB?+\q)), если /. = 1,
Tt
для функций 5er(z, 9).
Интегралы, включающие ядра с функциями Бесселя
Пусть
20.7.25. u = V2e(ch 2z + cos 2/) (Re ch 2z > 1;
если j = 1, то допустимо также значение z 0).
20.7.26. McUKz, Ч) - ( ІУ1 [ Z^Ku) ce2r(t, q) dt,
ъА$г J
nl 2
McHUzl q) -
= (~l)rS Vgchz Г ZjiKu) cos t JC^f+1 J 0
20.7.27. Ms%K*, q) =
я/2
ce2r+i(t, q) dt,
= (-l)r+18g sh 2z Г Zj»(a) sin 2<jggr(f, q) dt
кВГ ) и2
0
Ms&^iz, q) =
Tt/2
_ (-1/ 8 Vg sh z Г sin f g) dt
ItBlr+1 J и
0
В вышенаписанных выражениях применяются обозначения 20.4.7 Я функции Mc, Ms определяются 20.6.7—20.6.10 (эти решения нормализованы так, что при Re z со они стремятся к соответствующим функциям Бесселя—Ханкеля).
Другие интегралы для McpKz, Я) и Msirv(z, <?)
Я/2
20.
20.7.28. McirlKz, q) = — 2 ( cos (2 ¦Jq ch z cos t - p -1 ceT(t, q)dt.
nce,(fi, q) J { 2)
0
Tf/2
1.7.29. Mc1f1Ki, 4) — Tr J E(1 - p) + P ch z cos l] cos (2 V? sh z sin ґ) ce^t, q) dt,
если p= 0;
(-1Г1 2 VgZce^1 - gj, если P = 1. n/2
20.7.30. Mrtfi^z, ?) = --—; ^ sin (2 V? sh z sin /) seir+i(t, q) dt.
r = 2s + p, p = 0, 1; ^ (-1 Yice2s ^ , q J
2
Tr = —
20.7, интегральные представления
Jt/2
26.7.31. Msijl^z, q) = -І ffi ?n"T" ^ cos (2 V? ch 2 cos 0 sh z sin f se2T+i(t, q) tfr.
0
я/2
4 C _ 1 г
20.7.32. q) = -Jq —-— \ sin (2 Jqchz cos t) sh z sin t se2r(t, q) dt.
те q) J
0
к/2
20.7.33. Ms$>{z, ?) = - ^4 . ^ sin (2 Jq sh z sin l) ch z cos ї seEr(r, q) dt.
" ^lf' 5J °
Далее, положив w = ch z cos a cos t + sh z sin a sin /, получим
2rc
20.7.34. свгіa, g) Л/с'1'^, g) = C e2i^ewcer(t,q) dt.
2K J 0
2я
20.7.35. ser(a,q)MsWzt q) = (~')8 C e2i^wser(t, q)dt.
