Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
20.3.6. Ja = zccr(z, д) + Y^1 d2t+» sin (2к+ р) z (соответствует cer(z, д));
«о
20.3.7. уз = zser(z, q) + coS (2к+р) Z
fc-9
(соответствует $er(z, д)).
Коэффициенты d^k+p и ?ik+p зависят соответственно от коэффициентов Am и Bm (см. 20.2), а также от а и q. Более подробно этот вопрос см. в [20.30], гл. (7.50)—(7.51) и в [20,58], гл. V.
Если V—нецелое, то решения Флоке Fv(Z) и Fj-z) линейно независимы. Очевидно, что 20.3.2 может быть записано в форме
20.3.8. ВД = C2fcC^4+afcI2.
Из 20.3.8 следует, что если v— правильная дробь то каждое решение уравнения 20.3.1 периодично, с периодом 2г.)щ. Это согласуется с результатами, полученными в 20.2: оба независимых решения периодичны, если одно периодично и если его период отличен ОТ 1С H 2Tt.
Метод получения характеристического показателя
Рассмотрим два линейно независимых решения уравнения 20.3.1 при фиксированных а и q, определенных следующими начальными условиями:
20.3.9. у ,(0} = 1, ^(0) - 0, ^a(O) = 0, yg(0) - I. Можно показать, что
20.3.10. cos Ttv — ^(те) = О,
20.3.11. cos TTV-I- Jy11Y j Л = 0.
Таким образом, v может быть получено, если известны .V1(Tt) или д4(ті/2) и у,(п/2). Для вычислительных целей более удобно соотношение 20.3.11 ввиду более короткого интервала интегрирования и, следовательно, меньшего накопления ошибок округления. Из 20.3.11 очевидно, что V определяется с точностью до знака и слагаемого, кратного 2. При фиксированном v коэффициенты 20.3.8 могут быть определены с точностью до произвольного множителя, который пс зависит от z.
Если имеется достаточно хорошее первое приближение к V, то характеристический показатель может быть вычислен из разложения в непрерывную дробь (аналогичного разложениям из 20.2). Для систематического табулирования этот метод значительно удобнее, чем метод численного интегрирования. Подставляя 20.3.8 в 20.3.1, получаем следующее рекуррентное соотношение:
20.3.12. VinCzn = сгп-2 + c2№+3,
где
20.3.13. Kan = [а- (2n + v?Vg (-« < п < со).
Когда V — комплексное число, коэффициенту V^ могут быть тоже комплексными числами, 538
20. функции матье
Из непрерывных дробей
» —да—I —
можно получить соотношения
Gffl = CmlCm-2, Н-т
-z/c-t
аналогично тому, как это сделано в 20.2.
Из выражения 20.3.13 и из известных свойств непрерывных дробей следует, что для достаточно больших значений I т I обе дроби I Gm I и I tl-m I сходятся. Пусть имеются значения Gm и Н-т для достаточно большого значения т. Тогда по рекуррентным соотношениям 20.2.14—20.2.1& могут быть последовательно вычислены (7m-в, ..., Со,
если они существуют. Аналогично могут быть получены
//-M4-S, H-m.fi,......#0. Легко показать, что v будет точным
характеристическим показателем, соответствующим точке (a, q) в том и только том случае, когда /ZttGo == ' - Если полученные значения H0 и G0 таковы, что последнее равенство выполнено с недостаточной ТОЧНОСТЬЮ, то для уточнения значения V можно применить итерационный метод, предложенный в [20.3]. Затем легко находятся коэффициенты Cj, один из которых может быть выбран произвольно. Эти коэффициенты у ivfflo жат оа ся на множитель, зависящий только от q, но не от z, который выбирается из условия нормировки.
Известно, что непрерывные дроби могут быть выражены в форме определителя. Действительно, уравнение 20.3.14 мохсст быть записано в виде определителя с бесконечным числом строк (частный случай определителя Хилла). См. [20.19], [20.36], 120.15] или [20.30]. Хотя этот определитель использовался в вычислезшях на бьтстро-действуюгаих машинах, прямое применение непрерывных дробей представляется менее трудоемким.
Частные случаи (a, q — действительные числа)
Если q = 0, то Уі = cos(Vaz1) уг = sin (Va z) и решепиямя Флоке являются функции t\{z) = схр (foz) и Fv(—z) = = ехр( — iaz). При действительных а и q линии равных значений характеристического показателя v(q, а) являются кривыми в плоскости (q, а). При этом каждая из линий a = aT{q) и а — br(q) является границей, отделяющей область, где V — действительные числа от области, где v — комплексные числа. В областях, где v действительны, все решения уравнения 20.1.1 ограничены при действительных z. Эти области называются «областями устойчивости». При комплексных значениях v имеются неограниченные решения уравнепия 20.1.1. Поэтом}' соответствующие области получили назвапие «областей неустойчивости». Области устойчивости (v действительны) лежат между кривыми:
1) a = Qfiq) и a = bf+i(q) (q > 0),
2) а = a„{q) и с = азтіч) (q ^ 0),
3) а «= b2r+i(q) ис= &8r+8fa) (q < 0);
области неустойчивости (v — комплексные числа) лежат между кривыми:
1) a = br(q) и a = ar{q) (g > 0),
2) а « agr+1(q) и с = bSf+1(q) (q < 0),
3) a = b2r(q) HC = asr(q) (q «S 0).
В некоторых задачах требуются решения только для действительных значений z. В таких случаях знания характеристического показателя v и периодической фупкпии P(z) достаточпо для вычисления требуемых функций Для комплексных значений z ряды, OnpefleflKrouHiey(Z)j сходятся медленно, ? следующем разделе будут определены другие решения, которые зависят от коэффициентов ст, полученных в связи с теоремой Флокс.
