Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
20.2.2. ^ ((а — ж2) Am — д(Ат..я + Am+3)J cos mz -f-
Itla- 2
+ lta - m^ Bm - (і(Вшг + 5m+8)] sin mz = 0,
A.m,B.m = 0 (m > 0).
Из уравнения 20.2.2 можно получить следующие четыре типа решений:
?0.2.3. J0 = ]|р Azmi-P cos (2т 4- p)z (р = 0 или 1),
20.2.4. >'i = ^ Bzm+p sin (2т + р) z (p — Q или 1).
м = 0
Если р — 0, решение имеет период к; если р = 1, решение имеет период 2тс.
Рекуррентные соотношения для коэффициентов Четные решения периода гс:
20.2.5. аАо — qAa = 0,
20.2.6. (а - 4) A2 - q(2A0 + Ad ~ 0,
20.2.7. (а - m8) Am - q(An-а + Am+i) « 0 (т > 3). Четные решешш периода 2т::
20.2.8. (а - \)At~ qUx + ^8) - 0, дда m a» 3 имеет место 20.2.7. 534
20. функции матье
Нечетные решения периода л:
20.2.9. С a -A) B2- qB4 = О,
20.2.10. (,з - т*)Вт - д(Вт-з + Bm+S) = 0 (т > 3).
Нечетные решения периода 27t:
20.2.11. (а - 1) B1 + д(Вг - Bs) = 0,
для т > 3 имеет место 20.2.10. Пусть
20.2.12. Gem АтіАт-ь, Gom = Вт!Вт~г,
20.2.13. Vm=--(а- тиа)/д.
Тогда рекуррентные соотношения 20.2.5—20.2.11 могут быть записаны в виде
20.2.14. Get = V0, Gei - Vi - IjGez (для четных решений периода и);
20.2.15. Ce3 = V1 - 1
(для четных решений периода 2«);
20.2.16. Goi = Vs
(для нечетных решений периода г);
20.2.17. Go3 - V1 + 1
(для печетных решений периода 2л);
20.2.18. Gm = lJ(Vm - GW2) (т > 3).
Здесь и ниже, во всех случаях, когда соотношения справедливы как для четных, так и для нечетных решений, употребляется символ Gm вместо Gem или Gam.
Последнее трехчленное рекуррентное сооигошснкс для коэффициентов показывает, что Gm может быть разложено в два типа непрерывных дробей:
20.2.19. Gm =
1
• Gm+І
20.2.20. GW2 = Vm
¦¦ Vm-
¦ 1 ІСш = 1
1 1 Vm+2 — Vm+i~"
(т > 3),
1
Vm-9 — Vm-J
?о
m-i -
Vo+a + 9i
(m > 3),
где
9i = d = 0, 9o = 2, Фі = d = фо = 0, 9і == —1, То = d= 1;
фі » d = 9о = 1,
если Gto = Gem (т четно);
если Gm = Gom (w четпо);
если Gib, — Gem (m почетно);
если Gm = Gom (nt нечетно).
Четыре набора значений параметров <pj, ф0, d соответствуют четырем типам решений 20.2.3, 20.2.4. Из 20.2.19 можіго показать, что собственные значения aT(q) и br(q) уравнения 20.1.1 являются корнями следующих четырех типов непрерывных дробей:
20.2.21. Го-~ —
20.2.22. V1 - 1 - — — — V9- Vs- V7-
* 0 > корни: о2Г;
... = 0, корни:
Ягт І
Рис. 20.1. Собственные значения ar, br, г — 0,1 (1) 5.
20.2.23. Vi-- — — .
Vi- Ve- V8-
20.2.24. V1-I-I--Vtt-
0, корня: bzr
... =0, корни: Ь2Т+1.
Если а есть корень одного из уравнений 20.2.21—20.2.24 для произвольного комплексного значения q, то соответствующее решение существует и является полой функцией Z. Это решение принято обозначать через ccr(z, q) (четное решение, отвечающее собственному значению ат) или через scr{z, q) (нечетное решение, отвечающее собственному значению і г).
Пусть q — действительное число. Согласно теории Штурма—Лкувилля для лилейных дифференциальных уравнений второго порядка имеем:
a) Для фиксированного действительного q ф Ъ собст-ветпгые значения аг и Ьт дсйсгвиимьпы и различны; ітри этом, если q > 0, то
Oo < bx < ах < Ъ2 < а8
и если д < 0, то
«о < Ci < < Ъ2 < а2 < а3 < Ъ3 < Bi ...
и Otiq) и bfiq) стремятся к г2 при q -* 0.
b) Решение уравнения 20.1.1, отвечающее собственному значению аг или собственному значению Ьт, имеет г нулей з интервале 0 z < тг (<7 — действительное).
c) Из формул 20.2.23 и 20.2.23 следует, тго если д?г — корень уравнения 20.2.21 и q Ф 0, то а2Т не может быть корнем уравнения 20.2.23; аналогично, корень уравнения 20.2.22 не может быть корнем уравнения 20.2.24.
Из других соображений можно показать, что для пары значений a,q,q ф 0, может существовать пе более одного периодического решения периода т. или 2т. Это не относится к решениям периода jtt, s > 3; в этом случае все решения периодичны, если одно из них периодично. 20.2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
535
Степенные ряды для собственных значенай
2 V 68687t/1
а% IQi
20.2.25. *&)--«-+ ^
+ —- + 2304 18874368
<*i(-?) = M«) - ¦ -
_ Ilg' 49?' 36864 589 824
«<7) - 4 - fj +
55?'
; , je _ » .
64 1536
S3«8 і
9437184 __
13824
35389440 ?scw>
12
763?' 13824
79626240 21391?'
79626240 1669068401?' 458647142400 Ф , 13?' 64 20480
+ ...,
"„(-?) = ish) = 25 +
+ -48 774144
37?*
адг) =
1.(9) =
147456 187?4
36+ + -
70 43904000
36 + Д- +
70 43904000
_ 5861633?'
92935SS7200000 187?« ,
_ 6743617?' __
92935987200000
Для г э= 7 д f?f не слишком большого йу приблизительно равно '>: я для них может быть использовано следующее приближение:
(5/-8 + 7) g*
2(г2 - 1) 32(/-8 •
_ -г 64(/-3 - ] j5 О-2 -
¦ 1)*(га-4)
: 2W_ +
4) (/-2 - 9)
В этой формуле нужно ограничиться членами, не содержащими гй— л8 в знаменателе. Следующие члены разложепия можно получить методом, предложенным Mane [20.27]. Мадхоланд и Гольдштейн (20.38] вычислили собственные
