Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
20.4.10. /P(z)!$(z) - [fv(0)/^4 (j]]
(Re z > 0).
Когда V — нецелое, эти решения не обращаются тождественно в нуль. Для целых значений v см. 20.6.
Решения, содержащие произведения функций Бесселя 20.4.11. yf(z) -1 00
- — 2 С2«(-1)П ZttlvUJqei*) Jn-t(j~q е-іг)
(7-1, 2, 3, 4)
удовлетворяет уравнению 20.1.1, где zi'V») определяются формулами 20.4.7, коэффициенты Csn те же, что и в решении Флокс, и s — произвольное целое число, с2в Ф 0. Это разложение. сходится во всей комплексной плоскости z, если <7^0. Заменив г на — iz, получим решения уравнения 20.1.2-:
20.4.12. MiJz, q) =
= V E c^ - i)nZ{JU+s(Jqe') JnsUq е~г).
Cam ..
Из 20.4.8 и 20.4.12 можно вывести
20.4.13. -y^ = Fv(O) (Re г > 0) M\(z, q)
При условии C2S Ф 0. Если C2S = 0, коэффициент при 1 /c2j в 20.4.11 тождественно равен нулю (см. [20.43], [20.15], [20.36]).
Если 5 выбрано так, что | c2S — наибольший из ряда коэффициентов Ic2 то при Re z > 0 получается быстрая сходимость разложения 20.4.12. Нужно иметь в виду, что возможна потеря значащих цифр в процессе суммирования рядов, особенно тогда, когда q велико, a |z| мало. (Если j Ф 1, то нужно определить аргумент логарифмического члена, содержащегося в 20.4.12, чтобы сделать функции однозначными.) 542
20. ФУНКЦИИ МАТЬВ
20.5. СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ И НОРМИРОВКА
Если g(v + 2р, q), o(v + 2s, q) — простые корни уравнения 20.3.10, то соответствующие решения Флоке F4 sr/z) и Fv (P Ф удовлетворяют условию ортогоиальиости я
20.5.1. j F^2p(z) Fv+ss(-z) dz = 0, о
если P ф S, P и s — целые.
Определим
20.5.2. ce^z, q) = - [ВД + Fv(-z)],
se^z, q) = -Д [FJz) - F^-z)].
При любых v, отличных от целых чисел, функции ce,,(z, д) и se/z, q) являгогся соответственно четными и нечетными функциями от г. При целых значениях v оді га из фушший 20.5.2 тождествешго обращается в нуль и определение для HCC теряет силу. Другая функция При .этом ЯГШЯЄ'іСЯ решением Флоке. Можно показать, что введение функций cer(z, q) и ser(z, q) в 20.2 ire противоречит определению 20.5.2; при целых V = /- функции cc,(z, q) связаны с ат, a ser(z,q) с Ьт.
Нормировка для целых v и действительных q
2п 2я
20.5.3. J [cer(z, q)f dz - J {seT(z, q)f dz = Jt.
Для цельтх значений v суммирование 20.3.8 сводится к более простым формам 20.2.3—20.2.4; вследствие условия 20.5.3 коэффициенты Am и Bm (для всех порядков г) обладают свойством
20.5.4. 2Al + Al + ... « А\ + А% + ... =
« Bl + В\ + ... =» Bi -I- J| -I- ... = 1.
2п
20.5.5. Af = — ( CetZst q) dz, 2rr J 0
2лг
Al = — ^ ceT{z, q) cos Cnz) dz (и Ф 0), о
2 я
Bfl ^ — C ser(z, q) sin (nz) dz (n Ф 0). тс J 0
Дня целых значений v функции ce^z, q) и ser(z,g) образуют полную ортогональную систему на отрезке О < z =? 2тс. Каждая из четырех систем cetT(z), f'e2r+i(z), se«r(z), seUT+1(г) полна з:а меньшем отрезке U < г ^ тг/2 и каждая из систем cer(z) и sc,-(z) полна на отрезке 0 ^ z < тс.
Если q — не действительное число, то существуют кратные корни уравнения 20.3.10; для таких частых значений a{q) интегралы 20.5.3 обращаются в нуль и поэтому вышеуказанная нормировка невозможна. Ii приложениях вид нормировки не имеет большего значепия и служит только для количественных отношений между решениями различных типов. Поэтому здесь не рассматривается нормировка функций F,/:') для произвольных комплексных значений а и q. Заметим, однако, что всегда возможно определить решения acer(z, q) и ?ser(z, q) так, чтобы выполнялись условия ocer(0, q) — 1, [— ?ser(z,q)1 =1. Эта
Lrfz Jz=O
нормировка принята в [20.59], а также в [20.58], где дается обширный табличный материал. Табличные входы в [20.58] содержат нормирующие множители А = 1 /а и Б = 1/3 и коэффициенты разложений. Переход о г одной нормировки к другой легко осуществляется.
Нормировка функций 20.4.8 также не будет рассматриваться.
20.6. РЕШЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ ДЛЯ ЦЕЛЫХ v
(радиальные решения)
Решения первого рода
20.6.1. Ce2r+j>(z, q) = CCsr^piiz, q) =
- E ch (2к +p)z
(соответствуют ffar+p);
20.6.2. Sew+P(z, q) - -ise2r+P(iz, q) =
= bh(2k+p)z
k=Q
(соответствуют bzr+i>)' Для краткости запишем
= Azk+p,
В&ЇМ = W (р - 0, I).
20.6.3. Cesr(z, q) =--
ceAyA »
- -Y) (- VkA2MlJq chr)-
^o jfco
± AMI Vi sh z). 0 A = 0
20.6.4. Се„+1(г, ?) =
с4г+1(|,Л „ = г '- T\ (- 1),+1 ^HI 'rf -JI Ch г) =
-"T^fifctb -' ?{ik+1I sh г)-
SIaI 20.«. МОДИФИЦИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ МАТЬВ
543
20.6.5. Se„(z, q) = tfear^.gjth Z
20.6.6. Sesr+1(z, q)
^C-O1-fSlC V? ch z) ¦ A-I
(Я
««Г га
= jS^rtO.^) cth г уч 2кВыЫ1 -Tq Sb г).
и
se2r+i
th r?<- 1)Е
¦JiBi»1
(24 + 1 JBattl /Btn(2 V? ch г) -
-^f'gW-nOViAz).
Другие формулы см. в [20.30].
Решения второго рода, так же как и решения третьего и четвертого рода (аналоги функций Ханкеля), получаются из 20.4.12.
20.6.7. Mcikz, q) -
= р (- l)r+" ^SKl) [Л-К«0 Zfo,(n,) +
здесь и ниже J — произвольное целое, (соответствует Oar); е0 = 2, е, = 1 для S = 12, ...
