Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 20.6. Характеристический показатель. Первые две области устойчивости
у = Р(х), где Р(х) —периодическая функция периода тт.
Определение V: в первой области устойчивости Ой v^ ], во второй области устойчивости 1 < v < 2.
Рис. 20.7. Характеристический показатель в первой области неустойчивости. Дифференциальное уравнение:
+ [а — Iq cos 2х) у = О,
Решение Флоке V = eivx Р(х), где Р(х) — периодическая функция периода л. В первой области неустойчивости V = i\x; ц задается для а > — 5. 20 3. теорема флоке
Рис. 20 8, Рис. 20 9 Карты характеристических показателей. — s — eiV"- = const, в областях неустойчивости, _ _ _ V — const, в областях устойчивости,-----линии постоянных значений — 540
20. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
3.1 3.2 3.3 ЗА 3.5
ЗЛ 3.1 3.2 3.3 ЗА 3.5 Pe с. 20.10.
Разложения для малых q (ем. [20.36], гл. 2) Если V и q фиксированы, то
і (5 Уя + 7) дк
20.3.15. а = Vа + +
2(va - 1) 32(' (9v' + 58va + 29) q'
DV - 4) + ... (v ,S 1, 2, 3).
64(va - I)5 (va - 4) (Vа - 9) Для коэффициентов C3s в разложении 20.3.8 имеем -Ч
20.3.16. C1IСо -
4(» + 1)
(»а + 4v Ч- 7) qs
128(v + 1)а (v + 2) (ч — 1)
(" ф I, 2),
cjco - j7(32(v + 1) (V + 2)) + ...,
са!с = (-Iy5Tfv + 1)/(2" л! T(v + s + 1)) + ...
20.3.17. ад =
Г Ct^vfVz Ci(V-S)S 1-І » — п )---U + ... (v — нецелое).
» \e№~q S-
L (4(" + 1) 4(v — 1).
Для малых значений а
20.3.18. cos vn = (l - + + ...j -
M1-S+-Ms-^+-)-
.til 4
20.4. ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ
Следуя Эрдейи ([20.14], [20.15]), определим
20.4.1. «= [ein cos (z - Ь)/ cos(z + b)]"'2 Jk(f),
где
20.4.2. / - 2fa cos (г - Ъ) cos (z -I- ft)]1'8
и JfcCO — функция Бесселя порядка к; Ь — фиксированное, произвольное комплексное число. Используя рекуррентные соотношения для функцни Бесселя, получим
20.4.3. - 2tf(cos 2z) <рк + + <p*+2) + dzz
+ k*<pt = 0.
ели формальное решеїше уравнения 20.1.1 записать в виде
20.4.4. у « ^ C8»fpsn+V,
ТО получим коэффициенты Cj« те же, что и в решении Флоке. Как и прежде, V может быть комплексным. Для всех значений, исключая целые, справедливо следующее соотношение:
fSn+4+fl9ав-у ~ iP-IЯ+v/? -2W+V+2
о< -An2Kq cos2(z — ?)) (п -* со).
Это соотношение легко доказывается из асимптотического
представления функций Бессиля Jv(f). При целых значениях
V доказательство не проходит для ф-гтц-у/ф-гл-ин-г- В этом случае, используя соотношение
^W/) = C-Ov .Wv(Z)1
по путам
~ —4ni(q cos°(z — Ь)) (п -» со), 9 sn+Jy-zn+v+B ~ — An1Kq cos2(z — ?>)) (я со).
С другой стороны,
Czn/Czn-2 ~ —q!4nz (и со).
Из сказанного выше следует, что при нецелых значениях
V ряд 20.4,4 сходится абсолютно и равномерно в любой
замкнутой области, где
I cos (z- b)\>di> 1.
Таким образом, существуют две непересекающиеся области сходимости ряда 20.4.4:
(I) Ira (z - Ь) > dt > 0 (I cos (z — b)\> di> 1),
(II) Xm (г — і) < —di < 0 (|cos(z-A)|>di>l). Если V — целое, то ряд 30.4.4 сходится для всех значений 20.4. ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МАТЬВ
541
Отметим некоторые представления решений уравнения Матье, получающиеся при частных значениях Ь.
20.4.5. 6 = 0, у «= V?cos z)
<1 cos zI > 1, I arg 2 V<? cos z\ < ft),
20.4.6. b = ft/2,
у = cS»J2H+v(2i Vi bin S)
(I sin z і > 1, 1 arg 2 -Jq sin г | < л).
Если b -<• OOJ5^ становится кратным решению 20.3.8. Тот факт, что 20.3,8, 20.4.5 и 20.4.6 являются частными случаями 20.4.4, объясняет, почему эти кажущиеся различными раЗЛОЖеНИЯ ИМСЮТ ОДНИ И Te ЖЄ КОЗффиШКНТЫ C2I-
Заменив в 20.4.1 Jn(J) на фупкщш Ханкеля HjP(J) (j = 1, 2) мы получим две функции VfctZ=I,2),которые в силу рекуррентных свойств функций Бесселя удовлетворяют уравнению 20.4.3. Следовательно, в формальном решении 20.4.4 уравнения 20.1.1 9? могут быть заменены на фі.
Итак, пусть
44 = [el* COS (2 - го/cos (г + b)]k<* H{i\f),
где / определяется 20.4.2 Исследование отношения
Фгя+м/Фап+ч-з показывает, что у = c2n<j4»+v является
решением при условиях I cos (z — Ь) і > 1, I cos (z + b) I > 1. Эти два условия необходимы даже тогда, когда v — целое. При фиксированном b область, в которой решения сходятся, может быть лепсо установлена.
Аналогично вышесказанному можно получить решения в виде рядов HO функциям Бесселя Yfc(C). Следуя [20.36], положим
20.4.7. JjKx) = Z$\x)t Yv(x) = zf\x), R$\x) = zf(x), Hf\x) = Zp4Vx).
Тогда решения уравнения 20.1.1, выраженные через функции Jk(/), Yi(J) или {]—-], 2), могут быть записаны в
единой форме. Например, при j — 1, 2, 3, 4
b ~ 0,
yli) = J2 Смі(_і)» V?cos Z)
(I cos zt >1, I arg (2 "Jq cos z) тс), b = тс/2,
y(j) = ^ сгп Z2n+v(2« -Jq sin z)
(|sinz|>l, I arg (2 V? sin г) К я).
Если в этих формулах z заменить на —iz, то получим решения уравнения 20.1.2:
20.4.8. уф = 2 е„(-1)« ZgUvC2 л/в ch z)
(I ch zl > 1,7- 1. 2, 3, 4),
20.4.9.^00= ? Са» z^ ^(2 *Jq sh z)
Cl StL Zl > UJ = 1,2,3,4).
Связь между >-1 Vz) и yi\z) может быть определена из асимптотических свойств функций Бесселя при больших значениях аргумента. Можно показать, что
