Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
451" L 4 4
16g L 64 64
r(r - 1) (-r' - 27г + 10)
r(r- 1)
Dr-
4"
^fCK-]'
20.9.19. Cr- J^JuVhVO-!)1" [І + -
г* + 2ґ> + 263/-8 + 262(-+ 108
- + ¦
Ir + 1 Sq1"
Л-a
"Г
2048s 16384?3"
л = 6г' + ISr4 + 1280л3 + 1905г2 + 1778г + 572;
2r + 1 .
».9.20. Sr'
-(¦fr
4і'¦/(/•!)"" 1 -
с4 + 2r' - 121 г" - 122)--84 +_h ь "I-1" ,
2048? 163845»" "J
/, = 2г» + 5г* - 416г' - 629г' - 1162г - 476. Следует заметить, что 20.9.15 можно также рассматривать как приближение для .Tcv fx, q). ио 20.9.16 может дать несколько лучшие результаты (см. [20.4]).
Явные представления функций порядков OhI
(до членов порядка q' "'\ q — большие)
20.9.21. Для г = 0: Z,
о, , 1 / В, , й)
Do--+ ---1 + — +
64 V? 16« I 8 512J
1
( _ Ju®i _ S- _ Д" "I +
64?"2 I 256 256 24576 J Т ""
Z1 ~ —Й- + — (- — + + 16 Vg 16? I 16 64 J
4s3« (
+ • _ 61Pg + 25Д» 32 256
50,„ 10240
20.9.22. Для г = 1 Z0 ~ D1 -
64 V? 16? 1
б V" 1 Zi-
207-Р; 256
1 С ЗС, Д»1 6? I 16 512J
Д, _ D1, I
64 24576}
6 ф[ 16q 16 64 J
— f-
Vа {
+ ....
153Д» , 35Д7 _ +
32 256 2048 J
Формулы, содержащие функции cer(0, q) и it?r(0,9)
20.9.24.
Трудности получения этих отношений значительно возрастают с ростом порядка функций. Один из методов получения значений функций в начале координат состоит в следующем. Из разложения 20.9.15 вычисляют cer(x, q) для такого значения х, для которого справедливо также 20.9.11. Затем решают уравнение 20.9.11 относительно cer(0, q). Аналогично можно получить .5^(0, Ф-
Лалгером [20.25] были получены другие асимптотические разложения, справедливые в различных областях комплексной z-плоскости, для действительных а и q. Однако не всегда легко так определить линейную комбинацию решений Лангера, чтобы она совпадала с данными здесь решениями. 552
20. функции матье
20.10. РАЗЛИЧНЫЕ
Данная книга 120.581 [20.59] СтреттоH—Морс H др.
Параметры в 20.1.1 а q Or br b - a + 2q S = 4q ber -- r.r -- 2q bor - h, ¦ 2q b c-z-Jq br - ar 4- Iq ь; - Itr + Iq
Периодические решения уравнения 20.1.1 Четные Нечетные cer(z, q) ser(z, q) A*SeT(s, x) BrSoM, x) ArSeit1^e, cos x) B'So^c, cos x)
Коэффициенты периодических решений уравнения 20.1.1 Четные Нечетные AM BM ArDerm(S) Br DoUs) ArDi, BrFl
2п
1 (Ar)T3 или (Br) (Ar)-' или
у — стандартное решение уравнения 20.1.1
Решения Флоке 20.3.8 Fv(z)
Характеристический показатель v fJ. = i'V
Нормировка решений Флоке He уточнено
Решение модифицированного уравнения 20.1.2 Ce,(zt q) Ser(z, q) Ag,.,(s) Jer(s, q) Bgo As) J°,(s, q) Age.r(s) Jfric. ch л) Bg0As) Jor(e, ch x)
Mc™{zt q) jI^ JeriS, z) JeM, Ch z)
Ms^(z, q) ^Jor(S1Z) У ~ Jor(c, ch z)
Mci? (z, q) ]j^f/er(s,z) ch z)
MsirsXz, q) У^-JVor(c, Ch z)
Множители связи j Mc™(0, q) g,.M) V2i Xj.' >
So.rU)
- Mc™(0, q)!Mcly(Q, q) AA') -IB к K1
~ Ms?\z,q) dz AM 2 K1 15 K,
z-0
Замечания 1. Нормирующие множители Ar и Br прогабулированы в [20.58] вместе с коэффициентами Фурье.
2. Множители рт и Sf определены в [20.30], приложение 1, гл. 3, уравнения 3,4,5, б.
3. См. [20.59], гл. (5.3) и (5.5). В уравнении (316), гл. (5.5), первый член должен быть со знаком —. 20.10. РАЗЛИЧНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
553
ОБОЗНАЧЕНИЯ
[20.36] Matotcnep и Шефке [20.30] Мак-Лахлан [20.15] Бейтмея Примечания
\ /1= Or Ь, а Я Or Ь, h 0 or Ar
Ctriz, V) rcr(z, If) cer(z, д) q) eeAz, 6) seAz, 6) См. замечание 1
Am К л'„ Ai, B;„
1 1 1 См. замечание 1
me./ - , /г/ f(z)
v V- - iv ji — /V
— С mev(z, Aa) X л J
X me-4(z, h') dz = 1
CeAz, q) SeAz, q) CerIz, q) SeAz, q) CeAz, 0) SeAz, 0)
Mcl?\z, h) j ~ CeAz, q)lAgeAq) j/-| CeAz, WbAi)
Ms''\z, h) j~Se,(z,q)lBg„,t(q) Щйе,(Z, (DIBgaAq)
Mc">(z, h) l~-FeMz,q)!As.,r(q) ]j 1 FeyAz,V)IAg,Aq)
Usf'!.z, h) l~Geyr(.z,q)/BgcAq) ^-GeyAz, OVBg0Aq)
У~ІМс<»(0, /i), (-1Г Pr^IA Как в [20.30] См. замечание 2
-IYstIjllB
-Mcfl0, Ю/Ме'»(0, h) - FeyAO, q) CeAO.q) Как в [20.30] См. замечание 3
Как в этой книге — GeyAz, q) dz Как в [20.30]
~ SeAz, q) dz E=O 554
20. функции матье
Таблица 20.1. Собственные значении, множители связи, некоторые частные значения Четные решения
4 0
5 10 15 20 25
0 5 10 15 20 25
0 5 10 15 20 25
0.00000 000
- 5.80004 602
- 13.93697 996
- 22.51303 776
- 31.31339 007
- 40.25677 955
4.00000 000 7.44910 974 7.71736 985 5.07798 320 + 1.15428 288
- 3.52216 473
100.00000 000 100.12636 922 100.50677 002 101.14520 345 102.04891 602 103.23020 480
се,(0, q)
-1)7.07106 781 -2)4.48001 817 -3)7.62651 757 -3)1.93250 832 -4)6.03743 829 -4)2.15863 018
1.00000 000 -1)7.35294 308 -1)2.45888 349 -2)7.87928 278 -2)2.86489 431 -2)1.15128 663
1.00000 000
1.02599 503
1.05381 599 1.08410 631 1.11778 86?
1.15623 992
wV
(-1) 7.07106 78 1.33484 87 1.46866 05 1.55010 82 1.60989 09 1.65751 03
-1.00000 00 (-1)-7.24488 15 (-1)-9.26759 26 -1.01996 62 -1.07529 32 -1.11627 90
