Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
2 n J о
Продифференцировав вышенаписанные соотношения по «, получим
2тт
20.7.36. «K«.,)A<-c}"(z.,)= 5
0
_2п
20.7.37. иИ^«WO. J-^lyTwv* J
о
Интегралы с бесконечными пределами (г = 2,s— В формулах 20.7.38—20.7.41 z и q—положительные.
20.7.38. Mc'"(z, q) = Yr ^ sin ^2 -Jq cll z ch I + p ^J Mc?'(l, q) dt,
о
Yr = 2ce„ . q у (it4S*), если P —0; Yr = 2«і+г ^ , qjj (Jq-KAf+1), если p - 1.
20.7.39. AfOz, ?) = Yr ^ cos ^2 V? ch z ch ( - p j j sh z sh t M4"( t, q) dt,
о
Yr = - 4se'M , j (Jq-Bf), если p — 0; Yr- - 4se„+i ^ . / (4uf+I), если p — 1.
20.7.40. Mc^'tz, q) --- Yr ^ cos ^2 Jq ch z ch t - p j Mcll'(t, q) di, о
Yr - - 2ceai ¦ q^j (пЛІВ. если p — 0;
Yr ™ 2ce;,+1 ¦ qjj (r. JqAf+1), если p = 1, 548
20. функции матье
20.7.41. Msl2Kz, q) = Tr ^ sin ^2 *jqch z ch t + p j sh г sh t Msl1Xt, q) dt, о
Yr = — 4SfV . j (*Jqn Bf), если p = 0;
Yr 4sees+1' <?j j (TzBls-+1), если p = 1. Другие формулы см. в [20.30], [20.36], (20.15].
20.8. ДРУГИЕ СВОЙСТВА
Соотношения между решениями с параметрами q и—q
Заменяя в уравнении 20.1.1 z на — — z, получаем
20.8.1. у" + (a + Iq cos 2z) у = 0.
Отсюда, если и(г)—решение уравнения 20.1.1, то
Ui - — z I удовлетворяет уравнению 20.8.1. Можно пока-12 1 затъ, что (v—нецелое).
20.8.2. п(—V, q)-a(l, -q) = а(ч, q),
СЇш(-і)= p(-l)™C?«W
(сгт определены формулой 20.3.8) и р зависит от нормировки;
FJz, -q) = рe-,v""Fv ^z + —, gj = fe,ml'Fw [z - ~, gj .
20.8.3. o„(-g) = M?), Ы-?) - М«).
= i%r+l(«), І!ГН(-?) =¦ 1,r+l(?) для целых V.
20.8.4. c<v(z, -q) - (-1/ се„ ["J ~ г. ' ce!r+l(z, -?) = (-1)' І«а,+1 -Z, gj .
seBr+i(z, —q) = (—І)*' сЄят+1
(І—)-
—g) = (- IJr-1 I-z, r/J
Для коэффициентов, соответствующих вышенаписан-ныы решениям при целом V, имеем
20.8.5. JIU-q) = (~'Г-ГЛІШ, «(-«) =
-(-і Т-'їїия), лКі(-г) = (-De-rJJSffita). вжи-я) -
- (-1)-глий(?).
Для соответствующего модифицированного уравнения
20.8.6. у - (а + 2q ch 2z) у = 0 Имеем
30.8.7. Mi'>(z, -q) = |z -- / " . q j . M^\z, q) определена в 20.4.12.
Для целых значений v положим 20.8.8. Ielr(z, ?)=^(-1)*+» AzkUxs(It1) /*„(„,) +
A = O
+ It^l(U1) h-,(uz)V(A&e,),
Io„(z,q) = ?) (-1)*« SaIZ1-J(B1) -
A-i
Л-<Ы] ft.,
Л«г+і(г, г) =
= J2 (- Dl+" Я»„[Л-.0<і) WW +
+ /іц.+і(Иі) It-MVBuH,
q) =
= E (~1)I+* Z144tlW -
20.8.9. A„(z, g) .
= 2D ^ft-(U1) +
ft=0
+ /!«(%) 1^,(?)]/?, S,),
Ы', q) =
= S -
-IttI(U1) ^I-|("S)1№M,
Ke&+1(z, q) — 11^1Ih-,(ill) —
ft=u
-Itml(U1) &_,(%)№,+1,
+ 4-«+i("i) fnWWun, Im(x\Km(x) — модифицированные функции Бесселя, U1 = і: W4 ¦ \'7Верхние индексы опущены; Z3 = 2, если s = e« = 1, если s ^ 0.
Тогда для функций первого рода: 20.8.10.
ЛЛЙ>(г, -?) = (-1Г Шг, q), Msg>(z, -q) = (-1Г /о2,(z, q), McS>+i(z, -g) = (-If llesr+1(z,q), AftSW*, -?) = ("I)' iIonl(z, q). 20.9. асимптотические представления
549
Для функций Матье — Ханкеля первого рода: 20.8.11.
McfSd, -q) = (-1)'+' і 1 Ke^Z, q),
Tt
Mi'»(z, -«) = (-1)'+1 i-Ko„(z, q),
Tt
Mc^(z, -q) = (-1)'« 1 «),
Tl
M4-?)-(- 1)'« - Ko^z, q).
TZ
Для Mr\z, —q)(j = 2,4) могут бьпь использованы
определения:
Mf (z, -q) = -i{Mf(z, -q) - Mf (z, -q)\, M)*\z, -q) = 2Mf(z, -q)-Mf(z, -q), где Mr = Mcr или Msr-, z и q — действительные числа. Функции m'?\z, —q) при j = 2,4 являются комплексными функциями.
Нули функции при действительных значениях q Более полные результаты см. в [20.36], гл. 2.8. Нули функций cey(z, q), ser(z, q), Mef (z, q), Ms1r1Xz, q) На интервале 0 < z < тс функции ceT(z, q) ж ser(z, q) имеют г действительных нулей.
Если q > 0, то имеются комплексные нули. Если Z0 = X0 + іуо — произвольный нуль функции cer(z, q) или функции ser(z, q) при • - 7:/2 < .V0 < ~/2, то к~ ± Z0 акт: I0 также являются нулями при к целом.
В полосе - тт/2 < лг0 < тс/2 мнимые пули функций cer(z, q) и ser{z, q) являются действительными нулями функций CeT(z, q) и Ser(-, q) и поэтому также действительными нулями функций Mc1r1Xz, q) и Msf (z, q) соответственно.
Для малых q большие нули функций Cer(z>q) и Ser(z,q) приближаются к нулям функции /г(2 V? ch zJ-
Табулирование нулей
Айне [20.56] вычислил первые «нетривиальные» нули
т. е. отличные от 0, j-, 7cj для cer(z, q), SerIz, q), г=2(1 )5
и для se6(z,iі) с точностью до 5D при q = 0(1) 10(2) 40. Он также дает «экстремальные» точки (нули производной) и разложение для них при малых q. Уилтс и Кинг ([20.61], [20.62]) вычислили первые два нетривиальных нуля функ-
ций Mcl1Xz,q) и Msf(z,q) и их производных (г = 0,1,2) для 6 или 7 значений q, лежащих между 0,25 и 10. На воспроизводимых здесь графиках указывается их положение. Между двумя действительными нулями функций Mcfiz, q) (или Msf (z,q)) имеется нуль функции McJ.21 (z, q) (или Msf (z, q)). Таблиц этих нулей пока нет.
Имеющиеся таблицы указаны в разделе «Литература». Наиболее полные таблицы характеристических чисел аг, Ьг (в несколько других обозначениях) и коэффициентов, пропорциональных Am и Bm (см. 20.5.4 и 20.5.5), даются в [20.58]. Кроме того, эти таблицы содержат множители связи, с помощью которых можно получить значения Mer\z, q) и Msr\z, q) и их производных при z = 0. Значения функций cer(z, q) и ser(z, q) до пятого или шестого порядка могут быть найдены в [20.56]. В других цитированных книгах приводятся менее обширные таблицы, но важные в некоторых аспектах. В данной главе лаются только отдельные числовые значения различных функций и несколько графиков.
