Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
20.6.8. M<$.>+i(z, ?) -
- E (- l)r+I ^ISiW №-'(%) +
A-O
(соотііетсліует O2r+i).
20.6.9. M4>)(Zig) =
A-»l
Wi)
(соответствует І2Г).
20.6.10. q) «
= E (- Dft+r -?iUK?) №-<(wi) 2й3+і(»а) -
A-O
- Jk^1(U1) zf-іШІВГЛІ
(соответствует fear+i).
где U1 = H2 = Jqe*, 5?, (P = OjI).
Определение Zm(x) см. в 20.4.7.
Решения 20.6.7—20.6.10 сходятся для всех значений z, когда q Ф 0. Если j = 2,3, 4, то для однозначности функций необходимо выбрать ветвь логарифмических членов, ВХОДЯЩИХ B функция Бесселя Ym(Ui). Это может быть сделано так же, как и в [20.58]:
20.6.11. In (Jqet) = In (-Jg) + z. Производные см. в 120.15], [20.36].
Другие выражения для радиальных функций (справедливые в более узких областях)
20.6.12. Мс[?(2, q) = Ecear(Ojg)]-1^ (-1)*+* X
A=*0
xA%(q) ch z),
Mc$r±\(z, q) = ^1Ec-DwX
A=O
+1 (2fq ch г).
20.6.13. Ms$(z, q) = [sear(0, ?)]"1 X
X th (-\)k+T2kBti(q)Z^(2 -Jq ch г),
A —1
Msilvi(z, q) = [se\T+i(0, ?)]-1 X x th zS + \)Bt?\(q)ZU+i(2<Jl ch z).
A=O
Разложения справедливы при Re z > 0, | ch г | > 1; если ./=1, они справедливы для всех г. Эти разложения согласуются с 20.6.7—20.6.10, если ветви функций Бесселя выбраны соответствующим образом. Пусть, например,
Ym(U) = - (In и) Jm(U) + ф(и), те
где <р(и) однозначна для всех конечных значений и. Положим и = Iqxli ch г; определим
20.6.14. IntVtCh z) = In Iqltz + z + In - (1 + е~гг)
2
< arg-j (1 + S-izX ти/г|
(если q не положительно, то должен быть также определен аргумент 1п(2(/1/2); при этом не долмка нарушаться непрерывность функции относительно z. Если Ути(") определяется другим выражением, то это определение должно^ быть согласовано с 20.6.14).
Если J = 1, то Mci\\.v и MslWjf (р = 0, 1) являются решениями первого рода, пропорциональными Ceirjtv и Se2r+v соответственно.
Таким образом,
20.6.15. CciAz, ?) =
се2 г
(Н
се„(0, q)
- Mcff (z, q),
(-1)'Atf
сеіг+i I-^i ? celrt,(0,q)
Celr+1(z, q) = -, ,- -Mc'»a(z, 4),
(-1 Y+1JqAln
ї«!г(0, q)se, г I—, q I Sea(z, q) = - J^2-Msff(z, q),
(-D' qB? Я) ^ar-I i
Seni(z, q) = -
(Й
(-1/ Jqsr+1
Функциями Матье — Ханкеля являются 20.6.16. M®(z, q) = Mj11Cz, q) + iMf"(z, q), M\"(z, q) = M'"(z, q) - iM'"(z, q), M<<> = Afc<<> ¦» Ms\n.
MsflUz, ,). 544
20. функции матье
Из 20.6.7—20.6.1( и из известных свойств функций Бесселя получаем
20.6.17. 1(?! + jnit, q) =
=(-1 г) + «И.
M$lt(z + In*, q) =
- (-1)»ПМ$,(г, «) - глМ«}^, 5)), + ™
= (.-\)"ЦМ^ф, q) + 2пЛ«Дт(г, <,)], Af = Mc или M = Ms всюду в отих уравнениях.
Другие свойства собственных функций
Пусть q — действительное число. Рассмотрим
20.6.18. X1 = Mc'r"(z,q) + Mc<?X-z, q), X, = MsfXz, q) - Ms?X-z, q).
Поскольку X1 есть четное решеїгие, оно должно быть пропорционально Mcfr1Xz,q), так как 20.1.2 допускает только одно четное решение (с точностью до произвольного постоянного множителя). Аналогично, X2 пропорционально '(¦"-', <'/). Множители пропорциональности is, г и /.,,, могут быть найдены следующим образом. Пусть
20.6.19. Mc^X-Z, q)~ -Me1r1Xz, q)-2/,, ,Mc1r1Xz, q),
20.6.20. Ms1r1X-Z, q) = Ms<B(z, q) - If0irMsi1Xz, q),
где .
20.6.21. /,. r = -Mc«40, ?),
/„ r = Г— Ms<»(z,q)l — JIftju(I1J)]
LrfZ I dz Ji-O
(CM. [20.58)).
Ряды 20.6.12—20.6.13 сходятся при Rc.-< 0 и при ch z >1, однако они не представляют тех же функций, что и 20.6.7—20.6.10. Позтому соотношения 20.6.19-20.6.21 могут быть использованы для продолжения функций 20.6.12-20.6.13 на область Rez< 0.
¦Jf Mcffaip
1.0 O.S
о.е
OA
о.г
о
-OA
Рис. 20.11. Радиальная функция Матье первого рода.
1-0-25
! t.w\ \3.70 \ \. \. Л і ... X
. OZ о/)\ао омі и) 1.2 Mj 2.0^ Z
\\ Д/ \ I: -X1
q=Z.ZS
Рис. 20.12. Производная радиальной функции Матье первого рода. 20.7. интегральные представления
545
20.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Пусть функция
20.7.1. G(u) - ^ К(и, 0 V(t) dt
с
определена для и из области U и контур С принадлежит области T комплексной f-плоскости, причем t — Y0 ~ начальная точка контура и t — Yi — его конечная точка. Пусть ядро К(и, 0 и функция V(t) удовлетворяют уравнению 20.7.3 и условиям 20.7.2.
20.7.2. К (и, і) и его две первые частные производные по и и по t непрерывны: по t на контуре С и по и в области XJ', V и dV/'dt непрерывны по /.
20.7.3. Г~ V — — = 0,
L St dt Jy0
JiV
— + (а ~ Iq cos 20 F=O. dta
Если К(и, і) удовлетворяет уравнению
20.7.4. —к- + — + 2q (ch 2н - cos 2t) К - 0,
Du3 St2
то G(u) есть решение модифицированного уравнения Матье 20.1.2.
Если Kiu, г) удовлетворяет уравнению ої с* Я® К*
20.7.5. — + — + 2q (cos 2и - cos 2t) K = 0, 0«a SJ2
то G(u) есть решение уравнения Матье 20.1.1 (в котором г заменено на и).
Ядра Кг(г, t) и Ka(z, t)
20.7.6. KiHzt t) = Z{J\u) [M(z, t)V? (Re г > 0),
где
20.7.7. и = Jlqich. 2z + cos 2г),
20.7.8. M(z, t) = ch (г + it)! ch (z - it).
Чтобы сделать функцию Af-vZ2 однозначной, определим
