Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
ир(*), vy(x); ±х = 0(0.01)5, -р - 0(0.1)2; ±х =
= 5(0.01)10, -р = 0(0.05)2; 6D.
19.18. Карпов К. А., Чистова Э. А. Таблицы функций Вебера. M.: ВЦAiIСССР, 1968, Т.ІП.
Dv(x)\ X = 0(0.01)5, - = N(0.001)0.2, р = - 1(0.1)1;
7D.
N принимает значения, при которых в пределах принятой точности Dp(x) = 0.
e-*a/4Dp(X)-, -X = 0(0.01)5, - - = 0.0001(0.000j
X
или 0.001)0.2, р = -1(0.1)1; 7D
Dp(Jx) = аР(х) + ibp(x), ег*Ч* avx, е~**1* ЬР(х), х =
- 0.(0.01)5, - =iV(0.001) 02; 7 D.
Xглава 20
функции matbe
Г. БЛАНШ
СОДЕРЖАНИЕ
20.1. Уравнение Матье...............,...........................................................532
20.2. Определение собственных значений ................................................................533
20.3. Теорема Флоке и ее следствия...............................................................................537
20.4. Другие решения уравнения Матъе .....................................................................540
20.5. Свойства ортогональности и нормировка ..........................................542
20.6. Решения модифицированного уравнения Матье для целых v ...................................542
20.7. Интегральные представления и некоторые интегральные уравнения ....................545
20.8. Другие свойства ...................................................................548
20.9. Асимптотические представления ........................................................................................549
20.10. Различные обозначения..........................................................552
Таблица 20.1. Собственные значения, множители связи, некоторые частные значения (0 =? q ^ ос) ....................................................................................554
Четные решения ar, cer(o,q),cer^~' ду сет[~> . WgeAq), W/M-
Нечетные решения br, q), sef . ф se't > <?j» W2 qoAq), (MffoA<l\ q = 0(5)25, 8D или 8S; ar + 2q - (4r 4- 2) V?, br + 2q- (Ar - 2)4q, q-ua = 0.16(-0.04)0, 8D; r= 0, 1, 2, 5, 10, 15.
Таблица 20.2, Коэффициенты A1ft и Bm ...................................... 556
q - 5,25; г - 0, 1, 2, 5, 10, 15, 9D. Литература .................................................................... 557
20.1. УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ
Каноническая фориа дифференциального уравнения
20.1.1. + (а - 2q cos 2z) у = 0. dz2
Модифицированное дифференциальное уравнение Матъе
20.1.2. - (а - 2q ch 2и) f — 0 (z = /и, у =/). du*
Связь уравнения Матье с волновым уравнением в координатах эллипшческого цилиндра
Волновое уравнение в декартовых координатах имеет вид
&w d*w &w
20.1.3. + + + к2 W = 0.
Ox2 Sy3 0z220.2. собственные значения
533
Решение W получается методом разделения переменных в эллиптических координатах. Пусть
х = р ch и cos V, у = р sh и sin v, z = z,
p — положительная константа. Тогда 20.1.3 примет вид
SsW 20.1.4. +
Bz2
+ -
-I- к2 W - 0.
pa(ch 2и - cos 2v) [ диг dv% Предполагая, что решение записывается в форме
W= 9(r)/(K)g(v)
и подставляя это выражение в 20.1.4, получаем после деления на W\
1^ + с-о,
<р dz'
-Ш + ul Ih
I du' / dv' S S
- + — - ^ + **.
P2Cch 2« - cos 2v) I du' f di' s I Так как z,u,v~ независимые переменные, то
20.1.5. + с® - 0.
dz'
где с — постоянная.
Далее, из того факта, что G=CH что и Hv- независимые переменные, следует
20.1.6. а - О- — + (Zts - с) ? Ch 2», du' f 2
J2? 1 D8
а- _u-*-i. + — с) — cos 2», г 2
где а — постоянная. Полученные уравнения эквивалентны 20.1.2 и 20.1.1. Постоянные с я а часто называют постоянными разделения согласно той роли, которую они играют в 20.1.5 и 20.1.6.
Для некоторых важных физических задач функция g должна быть периодической, периода л или 2тт. Можно показать, что для уравнения 20.1.1 существует бесконечная счетная последовательность собственных значений а = = or{q), отвечающих четным периодическим решениям; существует также бесконечная счетпая последовательность собственных зтгачепий а = br(q), отвечающих нечетным периодическим решениям.
Иззгстно, что существуют периодические решения периода к~, где к — любое положительное целое число. В дальнейшем, однако, термин «собственное значение» будет относиться только к значениям, связаппым с решениями периода тс или 2тс. Эги собственные значения играют большую роль в общей теории дифференциального уравнения Матье для произвольных параметров а и д.
Алгебраическая флрча уравнения Матье dt2 dt
20.1.7. (1 - t2)^- - t^- + (a + Iq - Aqt2) У = 0
(cos Z = f).
Связь со сфероидальным волповым уравнением
20.1.8. (1 - Iі) - 2(fi + 1) t & + (с - Aqti) у = 0. dt dt
Таким образом, уравнение Матье есть частный случай уравнения 20.1.8 при b = —1/2, с =¦¦ а + 2q.
20.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Решение уравпеция 20.1.1, имеющее период те ила 2я,
записывается в форме
20.2.1. у = ]Р (Am cos mz + Bn sin mz),
w=0
где можно положить B0 — 0. Подставляя это решение в 20.1,1, получим