Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
38?
16.18. ФОРМУЛЫ ДЛЯ УДВОЕННЫХ АРГУМЕНТОВ
2 sn и en u dn и 2 sn и сп и dn и
1 — m sn4 и со2 и + sna и dn2 и
16.18.2. сп 2и =
сп* ы — sn8 и dn* и сп8 и — sna и dna и
1 — т sn4 и сп® и sns и du2 и
16.18.3. dn Iu =
dna и — т sn2 и сп8 и _ dn2 и + сп2 и(dn* и — 1) 1 — т sn* и dn2 и — сп2 u(dn2 и — I)
1 — сп 2и sn3 и dn8 и
16.18.4.
1 + сп 2и сп2 и
1 — dn Iu т sn2 и сп2 и
16.19. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОЛОВИННЫХ АРГУМЕНТОВ
2 1 + dn и
dn и + Cft и
16.19.2. сп2 — =
2 1 + dn и
nil Hr dn и + m сп и
16.20. МНИМОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЯКОБИ
16.20.1. sn (tu I т) — і sc («! 'N1).
16.20.2. сп (Ш, т) -- HC (и mi).
16.20.3. dn (iu I т) = de (и I т,).
16.21. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКТНЫХ АРГУМЕНТОВ
Используя сокращения
16.21.1. s = sn т), с - cnfrl т),
d ¦= dn (х] т), Si = sri(v і Wi), C1 = сп (у I mi), d, - dn(y I In1),
попутаем
16.21.2. sn(x + 0>| т) —
16.21.3. cnfce + iy\ т) —
16.21.4. dn (х + Iyi т) -
s • di + fc • d • Si • C1
ЄЇ + wse-s| с • Ci — is • d ¦ Si ¦ di
c| л- mS2 • ьі d • C1 ¦ dt — ims -C-S1 cf + ms" ¦ s|
16.22. ПЕРВЫЕ ЧЛЕНЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ПО ВОЗРАСТАЮЩИМ СТЕПЕНЯМ АРГУМЕНТА и
16.22.1. sn (и I т) - и - (1 + т) +
+ (1 + 14т + nf) -
-(1 + 135т + 135т2 + т') — + ...
71
16.22.2. сп (н| т) - 1 - — + (1 + im) — -
21 4!
-(1 + 44т + 16т2) — + ...
61
16.22.3. dn(u|m) - 1 -т — + т(4 + т) ---
21 41
- т(1б + 44т + т2) + .
Формулы общих членов этих разложений неизвестны. 388
16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ И ТЭТА-ФУНКЦИИ
16.23. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ПО ПАРАМЕТРУ ЯКОБИ q И АРГУМЕНТУ v
(, = f-"K,,Kt у _ киЦгкУ)
16.23.1. sn (к I т) .
= - Sin (2л + 1)».
п?"К .4-і 1 - а2»+1
16.23.2. сп (и|т).
m"'K 1 + <f»+1
-у— їй'-
2K K fe, 1 + IJ1
16.23.4. cd (ніш) =
«L (— Пи ул -L JU - cos (2n + l)v. '"''s^ fco 1 - <f"+I
16.23.5. sd (u|m) =
2it
1— (- 1)" —-sin (2n + l)v.
''"iA-A l+o2»+1
(ш,)1'* 1 + q
16.23.6. nd («I m) =
2* «»
_IL_ + p (_ i).-JLL- m 2nv.
16.23.7. de (u| m) = — sec V + IK
? TTT .1"H
16.23.8. Iic (u; m) - -sec V -
2m>'2.K
>•(• і)
1 + q">*1
cos (2и 1)».
16.13.9. sc (ut m) -- (g V '+
2тЦ'К
+ Jii-V4- „._?!_
ml'* 1 + q"
16.23.10. ns (и I mj —-cosec v -
2 K
16.23.11. ds (u I m) •
Tt
= — cosec 2K
16.23.12. es (и І от) =
. p sin (2n + l)v.
A' ?4 1 -- <,'«"
— \ % —-- sm(2n I- I) г.
IT a A q""
= - Clg V--г- y* ——
2K к l + (
16.24. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ДВЕНАДЦАТИ
16.24.1. \ sn и du — m-1'2 In (dn u — m1'2 cn y).
16.24.2. \ cn u du = піл'" агсеоз (dn и).
16.24.3. \ dn и du = arcsin (sn u).
16.24.4. t cd и du = m-"2 In (nd и + nf" sd u).
16.24.5. f sd Udu = (Bim1)-1'2 arcsin (- m1'2 cd u).
16.24.6. ^ adudu = mxlri arccos (cd u).
16.24.7. \ de и du = In (nc и + sc u).
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ
16.24.8.
16.24.9.
16.24.10.
16.24.11.
16.24.12.
nc и du — InJili In (de u + m\l 1 sc и). sc и du = In (de и + m\n nc u).
ns и du — In (ds и — CS u). ds u du = In (ns u — es u). es и du — Ia (ns u — ds u).
При использовании приведенных выше формул в вычислениях необходимо накладывать ограничения на аргумент «, с тем чтобы аргументы логарифмов были положительны и чтобы оставаться в пределах главных значений обратных тригонометрических функций. 16.27. ТЭТА-ФУНКЦИИ, РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ ЯКОБИ
16.25. ОБОЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ОТ КВАДРАТОВ ДВЕНАДЦАТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ ЯКОБИ
16.25.1. Pq и = ^ pq2 t dt при q Ф s.
о
16.25.2. Ps н - ^ jpqsf - -j j dt - -і *
ПРИМЕРЫ
= ^ cd2 t dt, Nstr= ^ |ns2f--~ j dt--- •
16.26. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА (см. 17.4)
16.26.1. т Sn и — — Е(и) Ь и.
16.26.2. т Cn и = Е(и) — miU, J полюс п.
16.26.3. Dnu = Е(и),
16.26.4. т Cd и = —Е(и) + и 4J т sn и cd и,
16.26.5. IMMi1 Sd и =Е(и) <-> m-iU — т sn «cd и,
16.26.6. mi Nd и — ?(w) — т sn и cd и,
16.26.7. Dc и —Дм) + и I- sn и de и,
16.26.8. /ti1 Nc м - — Е(и) { W1M I sn и de и,
16.26.9. Wi Sc н — ?(«) 4- sn и de и,
16.26.10. Ns и — — Е(и) + и - сп u ds и, Ї
16.26.11. Ds и = —Е(и) + mi и — сп и ds и, > полюс s. lfi.26.12. Cs и = -?(и) — сп и 6s и, J
Формулы 16.26.1—16.26.12 можно выразить через дзета-функцию Якоби (см. 17.4.27)
Z(«) - ?(и) - — и, где E = E(K). К
16.27. ТЭТА-ФУНКЦИИ; РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ ЯКОБИ q
16.27.1. ^(Z1 q) = ^1(Z) =
= Iqx'* U (—l)"g*<»+1> sin (2и + l)z.
о
16.27.2. ?2(z, q) = $s(z) « 2^1'4 ? 4B(*+1) cos (2n + 1) z.
»= 0
16.27.3. q) = ?3(z) —1 + 2 2 ff"" cos 2"
16.27.4. q) = ^1(Z) -1+2 2 (- 0* З*" cos 2«z.
Тэта-функции имеют важное значение, так как каждая из эллиптических функций Якоби может быть выражена как отношение двух тэта-функций (см. 16.36).
Данные формулы показывают, что тэта-функции зависят от аргумента z и параметра q, \ q \ < 1.
В 16.23 отмечено, что параметр Якоби имеет вид q «
где К и iK' — четверт ьпер и о д ьт эллиптических фуикций Якоби. Так как q = q(m) определяется заданием параметра т, то тэта-функции можно рассматривать как функции от т и записывать
