Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 229

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 223 224 225 226 227 228 < 229 > 230 231 232 233 234 235 .. 480 >> Следующая


15.4.12. F(а, 4; а + 4 + 1; zj = г"+""1» Г (і + а + ij (-2)(1'2"°"^?!???! - z)1'2]

(IargC-Z)K я, гф(0, 1)). 1J.4.13. F (о, 6; а + 6 + -I; xj - 2"+°-"* Г (I + а + bj PJL2^®! - х)1'2) (0 < х < 1).

15.4.14. F(a, і; а-6 + 1; z) = Г(а - і + 1) і""""'2 (1 -z)-" ^V^y^j (I arg (1 -z)| < к, Z ??-00, 0)).

15.4.15. F(o, 4 а-Ь + 1; х) = Г(а -Ъ + 1) Cl - х)"" С-х)"'2""'2 Ptj^yl-^j (-оо<х<0).

15.4.1«. F(a, 1 - о; с; z) - Г(с) C-Z)1"-"2 (1 - z)"»"1'2 FVCl - 2z) (| arg (-z)l < я, | arg (I - z)l < тг, z ?(0, 1))-

15.4.17. F(a, 1 - а; с; х) = Г(с) х"*~"* (1 - х)г'2-"2 PVCl - ЭД СО < * < О-

15.4.18. F (а, 4; -5- + 1 + 1; z] - rfl + SL 4. і] №_1)J(i-.-»)/. Pj1=JrjytCl - 2z)

C 2 2 2 J 1,2 2 2 J

(I arg z I <n, Iarg(Z-I)I <7t, гф(0, 1)).

15.4.19. pfa, 4; - + 1 + 1; xl Г f-1- + - + І) (x - х2):1-«-")'« Pi1=Jzi'/| (1 - 2x) (0 < x < 1).

{ 2 2 2 ] \2 2 2}

15.4.20. F (0, »;« + »-!; zj - 2"+1-"'2 Г (a + Ь - -~-j (-z)!2'2-"-»»'2 (1 - z)"1'2 PJ^f2 [(1 - z)1«]

(I arg (—z) I < 75, I arg (1 - z)| < 7t, Re [(1 - z)1'2) > 0, zf(0, 1)).

15.4.21. F (a, b; o+4-l; xj = 2"+»-"sr (a + b - I j xt2'2"«-»)'2 (1 - x)"1'2 PKVaKl - x)1"] <0 < де < 1).

15.4.22. F(a, 4; I; zj = ,r-1'^"+8-2'2 Г (і + aj Г + bj (z - 1)(1'2-"-")'2 (????^'2) + PJWi (-Z1'2)]

(|argz|< x, |arg(z—l)| < ті, гф(0, 1)).

15.4.23. F^a.b; xj = „-«г«+8"»'2Г (I + aj Г (I + i>j (1 -x:)(>«-•-»)« ця/и-^Я) + P1^JfSt-X1'2)]

(0 < X < 1).

15.4.24. F (a, b; 1; -zj =

_ Jt-Ifl2.-!.-!!. (I + aj Г(1 _ J) (z + l)-«'2-»« e±«"l»-''>'2{p;s_1[z1'!(l + Z)"1'2! + PSS-lt - + z)"1'*];. (Знак + (—) выбирается, если Im z >0 (Im z < 0), z$(0, аз).

15.4.25. F (a, »; 1; -xj =

= 7і-1»2»-^1Г (і + aj Г(1 - И (1 + x)-»'2--b's{/fcb%[x1»(l + xTvsl + PS3-jI- х'"(1 + хГ1'2]} (0 < X < оо).

15.4.26. F (а, і; -I; xj =

=- _„-1»2»+5-"2Г (a - 1 j Г (4 - j j !"'"(I - х)іа"-а-!,>'!{Р8^2гИх1") - PaLVMC-*1")} (0 < X < 1). 15.5. ГТШЕPГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Э77

15.5. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение

tPw dw

15.5.1. z(l - z) — + [с - (о + 4 + l)z] — -abw = 0

Jz3 dz

имеет три (регулярные) особые точки Z = О,1, со.

Парами показателей в этих точках являются соотест-C [векно

15.5.2. pj», = О, 1 - с, р!;>, = 0, с - а - ft, pfjl --а, !'¦

В общей теории дифференциальных уравнений типа Фукса различаю! следующие случаи:

Л. Ни одно из чисел с, с — о — ї>; а — Ь не равно исламу. Тогда два линейно независимых решения уравнения 15.5.1 в окрестностях особых точек 0,1, оо имеют соответственно вид

15.5.3. W1(O) = Fla, Ь; с; z) =

= (1 - г)'-•-" Flc -а, c-b-, с; z),

15.5.4. 4?,) - z1-' F(a - с + 1, b - с + 1; 2 - с; z) -

= Z1-cG - z)c-«-» F(1 - a, 1 - 6; 2 - c; z),

15.5.5. щ0) - Fla, b; a + 4 + 1-е; 1 - z) =

= z1F(1 + і - с, 1 + а — с; a + b + 1 — с; 1 - z).

15.5.6. Wg(I) -(1- z)'-"-s F(c -b, с-a: c-a-b + 1, 1 - z) = Z1-cI 1 - zy-"-"x

xF(l-a, 1-і; c-a-b+ 1; 1-z),

15.5.7. Iv1(Os) = zra Fla, a — с + I; a — 4+1; z-1) = = Zt-cIZ - l)«-*-4 f(l - 4, с - і; a - b + 1, Zj),

15.5.8. w,(„, = Z-" Fib, b - с + 1; 4 - a + 1; zJ) -

= z"-c(z - I)"-' Fll - а, с — a, 4 - a + 1; Zj).

Решения W3 в каждом из приведеишлх соотношений получены применением формулы 15.3.3 к решениям M11. Другие представления можно найти применением 15.3.4 к 15.5.3-15.5.8. Тогда

15.5.9. «»«,!«»(І

-zr'F^a.c-b-.c-.-^y. - (1 - z)-"F^b, с-а; і

; с; ¦

т)'

15.5.10. W3(O) =

z'-c(l - z)"-'-1 F Ja - с + 1, 1 - 4; 2 - с;

Z1-cCl - z)"-"-1 F^b - с + I, 1 - а; 2 - с;

15.5.11. Iv1(I) =

= Zra Fla, а — с + 1; а + і — с + 1; 1— zJ) =

- Z-" Fib, і - с + 1; а + 4 - с + 1; 1- zJ),

15.5.12. ws(1, = Z--cI, 1 - z)c-a-a X

X Flf -a, 1-а; с - о - 6 + 1; 1- zJ) = - zb-%l - z)cFle - 4, 1-4;

с - a - 4 + 1; 1 - Z-1),

15.5.13. Wi(m) = = Iz - 1)-° F [a, c-

= If- I)-6 F ^4,

4; a - 4 + 1

с — a; 6 — a + 1;



15.5.14. »•,(„) =

Z1-cIiZ - 1)"J -

Z1-cIZ - F^4 -

-+1,1-

4; a - b + 1; —) -1-z/

с +1,1 - o;4 - a + 1; —!—1 ¦ 1-zJ

Формулы 15.5.3—15.5.14 дают 24 решения гипергеометрического уравнения, полученные Куммером. Аналитическое продолжение функций M11, г(о)(2) можно получить при помошн формул 15.3.3 — 15.3.9.

B. Одно tu чисел а, Ь, с — а, с — Ь является целым. Тогда один из гипсргсомстричсских рядов, например ^1.2(0)^ 15.5.3 или 15.5.4, обрывается и соответствующее решение имеет вид

15.5.15. if - z\ 1 - z) pa(z),

где Pn(z) — многочлен степени и относительно г. Этот случай приводит к вырожденному і ипергеометрггческому уравнению, а его решения подробно исследоваїьі в 115.2].

C. Число с — а — b — целое, с — нецелое. Тогда 15.3.10— 15.3Л2 дают аналитическое продолжение функции Wli 8(В) в окрестности точки z — I. Аналогично, 15.3.13 и І5.3.14 дают аналитическое продолжеїтие W1, в окрестности z = со в случае, когда а ~ Ь является целым, а с не является целым; при этом накладывается ограничение с — а = О, dal, І2. (Подробное исследование всех возможных случаев см. в [15.2].)
Предыдущая << 1 .. 223 224 225 226 227 228 < 229 > 230 231 232 233 234 235 .. 480 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed