Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
15.4.12. F(а, 4; а + 4 + 1; zj = г"+""1» Г (і + а + ij (-2)(1'2"°"^?!???! - z)1'2]
(IargC-Z)K я, гф(0, 1)). 1J.4.13. F (о, 6; а + 6 + -I; xj - 2"+°-"* Г (I + а + bj PJL2^®! - х)1'2) (0 < х < 1).
15.4.14. F(a, і; а-6 + 1; z) = Г(а - і + 1) і""""'2 (1 -z)-" ^V^y^j (I arg (1 -z)| < к, Z ??-00, 0)).
15.4.15. F(o, 4 а-Ь + 1; х) = Г(а -Ъ + 1) Cl - х)"" С-х)"'2""'2 Ptj^yl-^j (-оо<х<0).
15.4.1«. F(a, 1 - о; с; z) - Г(с) C-Z)1"-"2 (1 - z)"»"1'2 FVCl - 2z) (| arg (-z)l < я, | arg (I - z)l < тг, z ?(0, 1))-
15.4.17. F(a, 1 - а; с; х) = Г(с) х"*~"* (1 - х)г'2-"2 PVCl - ЭД СО < * < О-
15.4.18. F (а, 4; -5- + 1 + 1; z] - rfl + SL 4. і] №_1)J(i-.-»)/. Pj1=JrjytCl - 2z)
C 2 2 2 J 1,2 2 2 J
(I arg z I <n, Iarg(Z-I)I <7t, гф(0, 1)).
15.4.19. pfa, 4; - + 1 + 1; xl Г f-1- + - + І) (x - х2):1-«-")'« Pi1=Jzi'/| (1 - 2x) (0 < x < 1).
{ 2 2 2 ] \2 2 2}
15.4.20. F (0, »;« + »-!; zj - 2"+1-"'2 Г (a + Ь - -~-j (-z)!2'2-"-»»'2 (1 - z)"1'2 PJ^f2 [(1 - z)1«]
(I arg (—z) I < 75, I arg (1 - z)| < 7t, Re [(1 - z)1'2) > 0, zf(0, 1)).
15.4.21. F (a, b; o+4-l; xj = 2"+»-"sr (a + b - I j xt2'2"«-»)'2 (1 - x)"1'2 PKVaKl - x)1"] <0 < де < 1).
15.4.22. F(a, 4; I; zj = ,r-1'^"+8-2'2 Г (і + aj Г + bj (z - 1)(1'2-"-")'2 (????^'2) + PJWi (-Z1'2)]
(|argz|< x, |arg(z—l)| < ті, гф(0, 1)).
15.4.23. F^a.b; xj = „-«г«+8"»'2Г (I + aj Г (I + i>j (1 -x:)(>«-•-»)« ця/и-^Я) + P1^JfSt-X1'2)]
(0 < X < 1).
15.4.24. F (a, b; 1; -zj =
_ Jt-Ifl2.-!.-!!. (I + aj Г(1 _ J) (z + l)-«'2-»« e±«"l»-''>'2{p;s_1[z1'!(l + Z)"1'2! + PSS-lt - + z)"1'*];. (Знак + (—) выбирается, если Im z >0 (Im z < 0), z$(0, аз).
15.4.25. F (a, »; 1; -xj =
= 7і-1»2»-^1Г (і + aj Г(1 - И (1 + x)-»'2--b's{/fcb%[x1»(l + xTvsl + PS3-jI- х'"(1 + хГ1'2]} (0 < X < оо).
15.4.26. F (а, і; -I; xj =
=- _„-1»2»+5-"2Г (a - 1 j Г (4 - j j !"'"(I - х)іа"-а-!,>'!{Р8^2гИх1") - PaLVMC-*1")} (0 < X < 1).15.5. ГТШЕPГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Э77
15.5. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
tPw dw
15.5.1. z(l - z) — + [с - (о + 4 + l)z] — -abw = 0
Jz3 dz
имеет три (регулярные) особые точки Z = О,1, со.
Парами показателей в этих точках являются соотест-C [векно
15.5.2. pj», = О, 1 - с, р!;>, = 0, с - а - ft, pfjl --а, !'¦
В общей теории дифференциальных уравнений типа Фукса различаю! следующие случаи:
Л. Ни одно из чисел с, с — о — ї>; а — Ь не равно исламу. Тогда два линейно независимых решения уравнения 15.5.1 в окрестностях особых точек 0,1, оо имеют соответственно вид
15.5.3. W1(O) = Fla, Ь; с; z) =
= (1 - г)'-•-" Flc -а, c-b-, с; z),
15.5.4. 4?,) - z1-' F(a - с + 1, b - с + 1; 2 - с; z) -
= Z1-cG - z)c-«-» F(1 - a, 1 - 6; 2 - c; z),
15.5.5. щ0) - Fla, b; a + 4 + 1-е; 1 - z) =
= z1F(1 + і - с, 1 + а — с; a + b + 1 — с; 1 - z).
15.5.6. Wg(I) -(1- z)'-"-s F(c -b, с-a: c-a-b + 1, 1 - z) = Z1-cI 1 - zy-"-"x
xF(l-a, 1-і; c-a-b+ 1; 1-z),
15.5.7. Iv1(Os) = zra Fla, a — с + I; a — 4+1; z-1) = = Zt-cIZ - l)«-*-4 f(l - 4, с - і; a - b + 1, Zj),
15.5.8. w,(„, = Z-" Fib, b - с + 1; 4 - a + 1; zJ) -
= z"-c(z - I)"-' Fll - а, с — a, 4 - a + 1; Zj).
Решения W3 в каждом из приведеишлх соотношений получены применением формулы 15.3.3 к решениям M11. Другие представления можно найти применением 15.3.4 к 15.5.3-15.5.8. Тогда
15.5.9. «»«,!«»(І
-zr'F^a.c-b-.c-.-^y. - (1 - z)-"F^b, с-а; і
; с; ¦
т)'
15.5.10. W3(O) =
z'-c(l - z)"-'-1 F Ja - с + 1, 1 - 4; 2 - с;
Z1-cCl - z)"-"-1 F^b - с + I, 1 - а; 2 - с;
15.5.11. Iv1(I) =
= Zra Fla, а — с + 1; а + і — с + 1; 1— zJ) =
- Z-" Fib, і - с + 1; а + 4 - с + 1; 1- zJ),
15.5.12. ws(1, = Z--cI, 1 - z)c-a-a X
X Flf -a, 1-а; с - о - 6 + 1; 1- zJ) = - zb-%l - z)cFle - 4, 1-4;
с - a - 4 + 1; 1 - Z-1),
15.5.13. Wi(m) = = Iz - 1)-° F [a, c-
= If- I)-6 F ^4,
4; a - 4 + 1
с — a; 6 — a + 1;
15.5.14. »•,(„) =
Z1-cIiZ - 1)"J -
Z1-cIZ - F^4 -
-+1,1-
4; a - b + 1; —) -1-z/
с +1,1 - o;4 - a + 1; —!—1 ¦ 1-zJ
Формулы 15.5.3—15.5.14 дают 24 решения гипергеометрического уравнения, полученные Куммером. Аналитическое продолжение функций M11, г(о)(2) можно получить при помошн формул 15.3.3 — 15.3.9.
B. Одно tu чисел а, Ь, с — а, с — Ь является целым. Тогда один из гипсргсомстричсских рядов, например ^1.2(0)^ 15.5.3 или 15.5.4, обрывается и соответствующее решение имеет вид
15.5.15. if - z\ 1 - z) pa(z),
где Pn(z) — многочлен степени и относительно г. Этот случай приводит к вырожденному і ипергеометрггческому уравнению, а его решения подробно исследоваїьі в 115.2].
C. Число с — а — b — целое, с — нецелое. Тогда 15.3.10— 15.3Л2 дают аналитическое продолжение функции Wli 8(В) в окрестности точки z — I. Аналогично, 15.3.13 и І5.3.14 дают аналитическое продолжеїтие W1, в окрестности z = со в случае, когда а ~ Ь является целым, а с не является целым; при этом накладывается ограничение с — а = О, dal, І2. (Подробное исследование всех возможных случаев см. в [15.2].)