Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
ba(z, q) - $a(z I m), a = 1,2, 3, 4.
Когда нет необходимости это подчеркивать, будем писать Vz). Приведенные обозначения даются в [16.6].
Имеются различные обозначения тэта-функций, что нередко приводит к недоразумениям. Так, вышеприведенная функция &4(z) иногда обозначается как $0(z) или S(z) (см. [16.6]). Иногда используется аргумент и = IKzJn. 390
16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ И ТЭТА-ФУНКЦИИ
16.28. СООТНОШЕНИЯ Л
16.28.1. Sf(z) SJ(O) = »|(z) S|(0) - »|(z) »3(0).
16.28.2. 9f(z) 0|(0) = »1 (z) »1(0) - Sf(z) »1(0).
16.28.3. 9§(z) Of(O) - Sf(z) »КО) - »f(z) »1(0).
16.28.4. »!(г) Sf(O) - S|(z) »K0) - »!(z) »f(0).
f КВАДРАТАМИ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
16.28.5. ?3(0) + SJ(O) - »|(0).
Отметим также важное соотношение
16.28.6. »;(0) = S,(0) »,(0) 8,(0), или s; = SsSaS1.
16.29. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
16.29.1. =Ctgu + 4V-«
»,(«) hi1 -
ЧЮ
,29.2. ™ -_ttB + 4V(-l)»-^
ад hi i-я
»m
»s(») S1OO
. 4 У^ (-1)» —— sin 2m. hi 1-Я"
¦ 4 Yn -J— sin 2 вн. hi1 -«'•
16.30. ЛОГАРИФМЫ ОТНОШЕНИЙ ТЭТА-ФУНКЦИЙ ОТ СУММ И РАЗНОСТЕЙ
АРГУМЕНТОВ
16.30.1. In
»l(« + ?). »,(а - В '
-in +4РІІ!- sin 2„* sin Ъф.
Sin (а — (3) hi" 1-Я"
,0.2. In9^+W _ »*(« - W
, + + 4 f. sta 2„* sin 2„Р.
cos (а — ?)
Zi и
16.30.3. In
»,(« + ?)
hi " '-52"
»,(* - »
4 Vs —---— sin 2иа sin 2и|3.
« 3 - 92я
Соответствующие выражения для ? - 17 получаются с помощью формул 4.3.55 и 4.3.56.
16.31. ОБОЗНАЧЕНИЯ ЯКОБИ ДЛЯ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
16.31.1. 0(нI т) = ©(«) = a4(v), * =
16.31.2. 0!(и| т) = Q1(M) = S3(v) - 0(и + К).
16.31.3. Н(и I т) = Н(м) = O1(V).
16.31.4. Ні(и| т) = Нх(м) - Sa(v) = Н(и + К).
16.32. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЭТА-ФУНКЦИИ ЯКОБИ © (и) т) С ПОМОЩЬЮ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО (А.Г.С.)
Процесс А.Г.С. (см. 17.6) формируется по начальным значениям
16.32.1. до = 1, Ьч = -Jmu со — *Jm
и оканчивается на JV m шаге, когда CiV равно нулю с заданной точностью. Находим в градусах по формуле
1ЯПв
16.32.2. = 2nuhU ——-
Tt
и затем последовательно вычисляем <Pi, <Ро»
используя рзхуррентпое соотношение
16.32.3. sin (2f „_! — 9») = — sin 9n. 16.35 ВЫЧИСЛЕНИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ МЕТОДОМ А Г С.
39»
Тогда
16.32.4. In ®(u I т) = і In + ita + і to sec (Ibl - Tl) + і In sec (2Tl - <р.) + ...
2 тг 2 cos tpo 4 8
... + *с(2ї»-і - то)-
16.33. ДОБАВЛЕНИЕ ЧЕТВЕРТЬПЕРИОДОВ K АРГУМЕНТАМ ЭТА- И ТЭТА-ФУНКЦИЙ
ЯКОБИ
и —и и + К и + 2К и + (Г и + 2ІК' и + К + ISC и + IK + TlK'
16.33.1. Н(й) -H(U) H1(U) -H(U) IM(U) 0(и) -N(U) Н(и) М(и) O1(U) №)Н(и)
16.33.2. H1(U) H1(U) -H(U) -H1(U) M(U) вжо N(U) H1(U) -ІМ(и) ©(и) —N(u) H1(U)
16.33.3. ЄіМ %(») ®(и) S1(U) М(и) H1(u) N(u) S1(U) гМ(и) Н(и) N(u) S1(U)
16.33.4. S(U) ©(") O1(U) ©(и) гМ(и) н(и) -N(u) 0(и) М(и) H1(U) -N(U) 0(и)
ми = [exp (- ¦--)]«-'". ад = [ехР (- ,-.
Эта-функции Якоби Н(и) и H1(U) имеют период 4К, тэта-функции Якоби 0(ы) и 0г(и) — период 2К. IiK' является квазипериодом для всех четырех функций, т.е. при прибавлении к аргументу 2iK' функция приобретает множитель.
16.34. СВЯЗЬ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ЯКОБИ С ТЭТА-ФУНКЦИЯМИ
(ад-im ем)
•lf-1
\2К ] сп и dn и
16.34.1. Z(u) = — 2К
16.34.2. Z(U) = ;
MS) Mi)
2к)
16.34.3. Z(u) = — IK
16.34.4. Z(u) = -
Mil
Mi)
мш
Мі)
16.35. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ЯКОБИ Z(u\m) МЕТОДОМ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО (А.Г.С.)
Процесс АГС. (см. 17.6) формируется по начальным значениям
16.35.1
« 1, ?>0 — л/nh, C0 = -Jryi
я оканчивается на N-м шаге, когда с у равно нулю с заданной точностью. Находим в градусах по формуле
16.35.2. <р* _ 2n а»т и —
и затем последовательно вычисляем <рn-i ф0, используя рекуррентное соотношение
16.35.3. sin (29я-і — 9») = — sin фя.
Тогда
16.35.4. Z(u| т) --
Ci sin (? -H Ci sin ф) + ... -H су sin ф w 392
16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ И ТЭТА-ФУНКЦИИ
16.36. ОБОЗНАЧЕНИЯ НЕВИЛЛЯ ДЛЯ ТЭТА-ФУНКЦИЙ
Тэта-фунщии в обозначениях Невилля определяются через тэта-функции Якоби Сем. 16.31) следующим образом:
16.36.1. ?,(и) =
16.36.2. Ыи)
Ш. ад = Н(„ + АЭ,
Н'(0) 0 (ц + К)
еда
нда
0(0) '
Если X, ;х — произвольные целые числа, то говорят, что точки Uo + TkK + 2[xiK' конгруэнтны точке ы0. имеет нули в точках, конгруэнтных 0; Ъс(и) имеет нули в точках, конгруэнтных К; &п(и) имеет нули в точках, конгруэнтных ІК'; V) имеет нули в точках, конгруэнтных К 4- iK'. Таким образом, индекс в обозначении функции (и) означает, что эта функция имеет пули в точках, соответствующих индексу на решетке 16.1-2, а постоянные, на которые делятся функции Якоби, обеспечивают равенство единице коэффициента при первом члене разложения этих функций в окрестности нуля. Поэтому эти функции обладают замечательным свойством: если р, q — любые две из букв s, с, n, d, то эллиптическая функция Якоби pq и задается равенством
16.36.3. pq и -¦
O1(U) '
Эти функции также обладают свойствами
16.36.4. тї>" MK - и) - ».(").
16.36.5. т?" »a(K - и) = »„(и)
