Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
D. с = 1. Формулы 15.5.3, 15.5.4 заменяются формулами
15.5.16. IV1(O)- На, Ь; 1; z),
15.5.17. W2(O) ™ F(a, Ъ; 1; z) In г +
(?)n (Ь)п
+ E--,- ««« + »о-
Z=I ("О"
ф(о) + ф(4 + п) -
Е. C = I имеет вид
- ф(4) - 2ф(и + 1) + 2ф(1)1 (|z| < 1). t + 1, т = 1,2, 3. Фундаментальная система
15.5.18. W1(D) — Fla, 4; т + 1; z),
15.5.19. Wj(o) = F(a, 6; т + 1; z) In Z +
la), («„
-г«[ф(а + n) - ф(о) +
(1 + m)» в! + ф(і + п) - ф(4) - ф(т + 1 + п) +
(и - 1)! 1-т),
г ФОи + 1) ~ ф(п + 1) + ф(1)1- 2
F. с = 1-имеет ввд
(1 - 0),(1 - 4)д
(I z [ <l,a,i/0, 1.....(m — 1)).
1,2,3,... Фундаментальная система 378
15. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
15.5.20. W10,) = Zm F(a + m, b + w, I + щ г),
15.5.21. ч'г<0) = zm + тп, b + m; 1 + m; г) In г +
+ ^f- <"_t J^L "J- [Wa + m +„) _ Srf (1 + м). »I
- ф(а + m) + ф(4 + т +л) - ф(і +m) - ф(т +1 +в) + + ф(Л1 + I) - ф(п + 1) + ф(1)] -
_ А__(в-1)!(-т). г„_„
^J (1-а - m)„(1 - Ь - т)„ (1 г| < 1, а, Ь # 0, -1, -2, ..., -(т - 1)).
15.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РИМА НА
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение 15.5.1 J с (регулярными) особыми точками 0,1, со является частным случаем дифференциального уравнения Римана с тремя (регулярными) особыми точками а, Ь- с:
15.6.1. ^ + + +
dz% і z — a z — 6
1 — у — у' 1 dw [ v.J.'(а —Ь) (а — с)
+ -+ ...... ^4.
z—o j dz L z — а + - с) а) + n'(С-а) (с - ЬП
z—Ъ Z-C J
(г - a) (z - b) (г - с)
Парами показателей для особых точек а, Ь, с являются соответственно а, а'; ?, ?'; у, у', удовлетворяющие соотношению
15.6.2. а + а' + ? + ?' + у + Y = U
Полная система решений уравнения 15.6.1 обозначается символом
Jabc
а ? у z ?' у'
Частные «случаи функции Римана р
(а) Обобщенная гипергеометрическая функция:
!0 со 1 1 а ? у Л. а' ?' у' J
(?>) Гипергеометричсская функция F(a, b; с; г):
!О со 1 Oa 0г 1-е Ь с — а — Ъ (с) Функции Лежандра ^(r), ?v'(z): 0 со 1
15.6.6. w — р
W
u о
2. (1-zV
а 1
' Z 2
(d) Вырожденная гипергеометричсская функция: 0 со с
¦ с с — к Z 0 к
Формулы 15.6.!
для фуіскцин Рнмапа P
a b с
U'P'г'
В 15.6.8 и 15.6.9.
15.6.10. 2 .
Ь.
-^1 + В
Cz1 + f' + Д Ci1 + D'
Ca1+ В
: i?l±j?, Cc1 + О'
А, В, С, D — произвольные постоянные такие, что Л0 — - ВС # 0.
Функция Рнмана Л приводящаяся к гипергеометрической функции, имеет вид Sa Ь с
15,.11. ,,[-(^-(^X
(Z -а) (С- й)1
tf ?' у' 0
XPl 0 a-f-?+y
(г - Ь) (с - с) ?' + Y Y' - Y J
ФункцияP в правой части представляет ссбсй гипергесмет-рическую функцию Гаусса (см. 15.6.5). Если гыесю нее взять 24 решения Куммера 15.5.3—15.5.14, то получается полная система 24 решений дифференциального уравнения Рямапа 15.6.1.
Например, первое из этих решений согласно 15.5.3— 15.6.5 имеет вид
—"(тгтГ^Г" ЛИТЕРАТУРА
379
Поведение функции F(a, b\c\z) ори больших |z| видно из формул преобраюватгия 15.3. Для фиксированных a, b, z и больших |с[ имеем (см. [15,8])
15.7.1. F(a,b;c;z)^f^ U. + 0(\с\~т-1).
Ztft (с)и и!
Дляфиксированныха, с, z (с<?0, —1, —2,..., 0< [ г| <1) и больших I b I имеем (см. [15.2])
15.7.2. F(a, b; с; z) =
= с-'^[Г(с)/Г(с - о)] (bz)-a[ 1 + Oilbzl-1)] +
+\T(c)IT(a):ebz(bz)a'c[l + 0( I bzl-1)} (-Зтс/2< arg < ти/2),
15.7. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 15.7.3. F(a, Ь\ с; z) =
= е*™[Г(с)!Г(с - a)} (bz)~a [1 + 0(1 bz I-1)] +
+ [Г(с)/Г(а)] <*\bzy~c [I + 0(1Ьг\~г) (- тг/2< arg (bz) < 3 n/2)].
Случаи, когла большими являются два или более параметров, см. в [15.2].
ЛИТЕРАТУРА
Книге н статья
15.1. Appell Р., Kampe de Feriet J. Fonctions hyper-
gcometriques et hyperspbariques. — P.: Gauttiiers-Villars, 1926.
15.2. Erdelyi A. et al. Higher transcendental functions.
— N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1953, V. 1. Русский перевод: Бейтмен Г., Э р -д е й и А. Высшие трансцендентные функции. - M.: Наука, 1973, T.I.
15.3. Goursat Е. Ann. Sei. Ёсо1с Norm. Sup., 10, № 2.
p. 3-142 (1881).
15.4. G о u r s a t Е. Proprietes generates de 2 l'equauon
d'Eulcr et de Gauss. — Actualites scicntihques et industrielles, Paris, 1936, 333.
15.5. Kampe de Feriet J. La fonetion hypergeome-
trique — P.: Gauihzerb-Villars, 1937.
15.6. Klein F. Vorlesungen uber die hypergeometrische
Funktionen. — B.: Teubner, 1933.
15.7. Kummer E. E. Uber die hypcrgeometrische Reihe.
- J1 Rcinc Ar gew. Math., 1836, 15, p. 39-83; 127-172.
15.8. MacRobert Т. M. Proc. Edinburgh Math. Soc.,
1923, 42, p. 84 — 88.
15.9. MacRobert Т. M. Functions of a complex va-
riable. — L.: MacmilIan Co, 1954.
15.10. Poole F. G. C. Introduction to the theory of linear
differential cuqations. — Oxford: Clarendon Press, 1936.
15.11. S n о w C. The hypergeometric and Legendre functions
with applications to integral equations of potential theory. —Washington: Government Printing Office, 1952. - (Applied Math. Series; 19).
15.12. Whittaker E. T., Watson G. N. A course of
modern analysis. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1952. Русский перевод: Уитте-кер Э. Т., Вате он Дж. Н. Курс современного анализа. — M.; Фиэматгяэ, 1963, T-U.
