Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
16.35. Вычисление дзета-функции Якоби Z(u \ т) методом арифметико-геометричес-
кого среднего (А.Г.С.)................................................... •
16.36. Обозначения Невилля для тэта-функций ........................................................................392
16.37. Разложения в бесконечное произведение ........................................................................392
16.38. Разложения в бесконечный ряд .....................................................................................392
Примеры .................................................................... 393 И.1. ВВЕДЕНИЕ
381
Таблица 16.1. Тэта-функции ................................................ 396
^/sec а &с(Єі\ос°), ¦9„(с°\«°), Vssc a »„(е;\0,
tt = 0"(5°)85°; е, E1 - 0-(5-)90°; 9-Ю D.
Таблица 16.2. Логарифмические производные тэта-функций .................. 398
_?
da
d_ du
- In ®,(И) =/(е°\0, (
— In #„(к) - f(ec\«°), du
™ In ^(ы) = du
a = 0°(5°)85°; є, = 0°(5°)90o; 5-6D. Литература .................................................................... 400
16.1. ВВЕДЕНИЕ
Эллиптической функцией называется двоякопсриоди-ческая мероморфная функция.
Пусть т и mi — такие числа, что m + Wi1 = 1.
Назовем т параметром, а іщ — дополнительным параметром.
Ниже будем полагать, что параметр т является действительным числом. Без потери общности можем считать, чго 0 ^ т « 1 (см. 16.10, 16.11).
Определим четвертьпериоды К и ІК' через интегралы л/2
16.1.1. К(т) ^K= ^ dQ
iK\m) - iK' =
(1 - m Sini 0)1/a u
Я/2
ІК' = і С J 1
db
u
(1 - Wi Sina bfri
Из 16.1.1 видно, что К и К' являются действительными числами. К — действительный и /К' — мнимый четверть' периодь'.
Заметим, что
16.1.2. К(т) =KXm1) = - >")¦
Заметим также, что если дано какое-либо одно из чисел m,mL,K{m),K'{m),KXm)IK{rn), то все остальные им определяются. Таким образом, К и К' не могут быть оба выбраны произвольно.
Обозначим точки О, К, К + IK', ІК' соответственно через s, с, d, п. Эти точки являются вершинами прямоугольника. Сдвиги этого прямоугольника на \К и \иК' ,где X и [х — любые целые положительные или отрицательные числа, приведут к решетке
8 С S С
n d її d
которая неограниченно продолжается во все стороны.
Пусть р, q — любые две из букв s, с, d, п. Тогда р, q определяют в решетке минимальный прямоугольник со сторонами длиной К и К' и вершинами s,c, d,n, перечисляемыми против часовой стрелки.
Определение
Эллиптическая функция Якоби pq и определяется следующими тремя свойствами:
(I) pq и имеет простой нуль в точке р и простой полюс в q.
(II) Шаг между PHq является полулериодом функции рq и. Те из чисел К, ІК',К + 'К', которые отличаются от этого шага, являюгея только чегвертьпериодами.
(IH) Коэффициент первого члена разложения функции pq и в окрзстносш нуля до возрасгающим степеням и равен единице. Следовательно, первый член разложения равен и} 1/'« или 1 в соответствии с тем, является ли точка U — 0 нулем, полюсом или обыкновенной точкой.
Функции с полюсом или нулем в начале координат (т.е. функции, в о Зазначеннях которые имеется буква s) являются нечетными, а другие — четными.
Чтобы подчеркнуть зависимость эллиптической функции Якоби от параметра, будем писать pq(«|/w) вместо
pq я-
Эллиптические функции Якоби могут быть также определены с помощью интегралов. Рассмотрим интеграл
.«-С-u®
J (1 — т Sii
Slns б)1'8 |>
і котором угол ф назовем амплитудой, к, записывая 16.1.4. 9 « am н, 382
16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ И тэта-ФУНКЦИИ
определим
16.1.5. sn и = sin cqu=3 cos 9,
dn и = (1 — т Sina <р)1/в ¦» А(ф).
Подобным образом через <р могут быть выражены все функции pq и. Такое определение эллиптических функций хотя и кажется отличным от определения в терминах рзшзггаг, но математически ему эквивалентно. О содержании обозначений, подобных sn(9\a), cn(u 1 т), dn(//, А), см. 17.2.
16.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВЕНАДЦАТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ
(сээгвзгственно полюсам и полупериодам)
Полюс ІК' Полюс К + ІК' Полюс к Полюс 0
Полупериод ІК' sn и cd и de и ns и Периоды IiK', AK H- AiK', AK
Полупериод К + ІК' СП и sd и ПС и ds и Периоды AiK', 2К + IiK', AK
Полупериод К dn и nd и SC и CS и Периоды AiK', AK + AiK', 2К
Три функции, помещенные в одном и том же столбце, имеют общий полюс.
W и
Ряс. 16.1. Эллиптические функции Якоби snu, спи, dnu; т — 1/2.
Четыре функции, помещенные в одной и той же строке, имеют общий период. Из периодов, указанных в последнем столбце, только два независимы.
2.0 1.0 О -10 -2.0
Рис. 16.2. Эллиптические функции Якоби ns и, пс и, nd и', т= 1/2.
\ im: и : пз ?/
и
К 2К 5М ЬК и
\ y^rwlT '^•'"hl'u"-^
Рис. 16.3. Эллиптические функции Якоби sc и, ds и, es и, de и; т = 1/2.
16.3. СВЯЗЬ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ С ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ТРОЙКОЙ ФУНКЦИЙ Sil и, СП и, dn и,
16.3.1. cd и=
16.3.2. sdu-
16.3.3. nd и =
dn и sn и
dn и 1
dn и
