Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
_ fr - o)„(c - 4)»_ f(а> c + „. 2).
(c),
d«
15.2.7. —[(1 - z)«+»-'F(o, г»; с; г)] = dz«
(1 - z)"-' F(a + n, b; с + n; z).
(-1 )«(a\(c-b)n (.ch d«
15.2.8. — [z«(l - z)"-e+» f(o, 4; c; z)J = dzn
—(c - n)„ z"-»-1 (1 - z)"-° F(a - it, b; с - n; z). d«
15.2.9. -S- [z"(l - z)«+6-« F(a, b; c; z)] =
dz«
-(c- n)« Ze-"-1 (1 - z)"+'-c-» F(a - II, і - n; с - n; z). Соотношения Гаусса для смежных функций
Шесть функций F(«il,i; с; z), F(a, Ь ± 1; с; z). F(q, b; с &1; z) называются смежными с F(a, b; с; z). Соотношения между F(a, b; с; z) и любыми двумя смежными функциями дал еще Гаусс. Повторным применением этих
соотношений функцию F(a -f т, b 4- и; с + /; z), где и, / (с + 0, — 1,-2,...) — целые, можно выразить в виде линейной комбинации функции F(a, b-, с; z) и одной из ее смежных функций с коэффициентами, являющимися рациональными функциями от а, Ь, с, z.
15.2.10. (с - a) F(a - 1, 4; с; z) +
+ (2а — с — az + bz) F(a, b; с; z) +
+ a(z - 1) F(a + 1, b; с; z) = 0.
15.2.11. (с - 4) F(a, b - 1; с; z) +
+ (2b - с - bz + az) F(a, 4; c; z) +
+ b(z - 1 )F(a, b+ 1; c; z) = 0.
15.2.12. c(c - 1) (z - 1) F(a, b; с - I; z) +
+ c[c - 1 - (2c - a - b - l)z] F(a, 4; c; z) +
-I- (c - a) (c - b)zF(a, b; с + 1; z) = 0.
15.2.13. [c - 2a - (b - «)>] F(a, b; c; z) +
+ o(l — z) F(a + 1; b-, c; z) -
- (c - 0) F(a - 1, b; c; z) = 0.
15.2.14. (b - a) F(a, b; c; z) + aF(a + 1, 4; с; z) -
- bF(a, b + 1; c; z) = 0.
15.2.15. (c-a-b) F(a, 4; c; z) +
+ a(l - z) F(a + 1, b; c-, z) -
- (c - b)F(a, b - 1; c; z) = 0.
15.2.16. cla -(c-b) z] F(a, b; c; z)-
- ac( 1 - z) F(a + 1, 4; c; z) +
+ (c - a) (c - b)zF(a, 4; с + 1; z) - 0.
15.2.17. (c — a — 1} F(a, b\ c; z) + aF(a + 1, 4; c; z) -
- (c - l)F(a, 4; с - 1; z) = 0.
15.2.18. (c —'a — 4) F(a, 4; c; z) - (c - 0) - 1,
4; c; z) + 4(1 - z) F(a, b + 1; c; z) = 0.
15.2.19. (4 - a) (1 - z) F(a, 4; c; z) -
— (c — a) F(a — 1, 4; c; z) +
+ (c — 4) F(a, 4-1; c; z) - 014.3. интегральные представления
373
15.2.20. с(1 - z)Ffe b; с; 2) - cF(a - 1, 6; с; z) +
+ (e - 6) zF(a, 4; с + 1; z) = 0.
15.2.21. [а - 1 - (с - 4 - 1)г] Ffe 6; с; z) +
+ (с - а) .F(« - 1, 4; с; г) -
- (с - 1) (1 - г) Па, 6; с - 1; z) = 0.
15.2.22. [с - 26 + (4 - о) z] Ffe 4; с; z) +
+ 6(1 - z)F(a, 6 + 1; с; г) -
-(с-6)Ffe 6-1; с-, z) — 0.
15.2.23. с\Ь - (с- a)zj F(a, »; с; z) -
— 6e(I - z) Ffe Ь + 1; с; z) +
+ (с - а) (с — 6) zFfe 6; с + 1; z) — 0.
15.2.24. (с - 6 - 1) Ffe 4; с; г) +
+ 6Ffe Ь + 1; с; г) - (с - 1) Ffe 6; с - 1; z) - 0.
15.2.25. е(1 - z) Ffe 4; с; z) - cFfe 4 - 1; с; z) +
+ (с - a)zFfe 6; с+ 1; z)- 0
15.2.26. [6 - 1 - (с - а - 1) zj Ffe 6; с; z) +
+ (с - 6) Ffe 6-І; с; z) -
- (с - 1) (1 - z) Ffe 6; с — 1; z) - 0.
15.2.27. etc - 1 - (2с - я - 6 - 1) zl Ffe 6; с; z) + + (с - а)(с - 6)zF(a, 6; с + 1; г) -
- с(с - 1) (I - z) Ffe 4; с — 1; г) - 0.
15.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Интегральные представлення
15.3.1. Ffe 4; с; z) -Де)
Д4) Г(с — 6) J
(I - О'-'-'О -tzY'dt
(Re о Re 4> 0).
Этот интеграл представляет сооой однозначную аналитическую функцию на комплексной z-плоскости с разрезом вдоль действительной оси от I до со, поэтому 15.3.1 дает аналитическое продолжение функции Ffe Ь\ с; Z), определенной рядом 15.1.1. Эта функция может быть представлена также в виде интеграла Меллина—Барпса: 15.3.2. Ffe 6; с; і) =
Г(с)
2тнГ(о)Г(Ь)
Г(а + д)Г(4 + я) ГС—
Г(с + і)
(- г)' ds=
Г(с)
1 Да + s) Г(6 + s)
2 Да) Д4) J Г(1 + j) Де + j)
cosec(rcs)(—zfds.
Здесь — 7t <arg(—z)<Tt; путь интегрирования выбран так, чтобы полюсы функций Да -I Ь) ы Д4 -I- 5), т.е. S = а — ИИІ - — 4 — m(и, M — 0, 1, 2,...) соответственно, были слева от пути интегрирования, а полюсы функции cosec Tis или 1'. - ..), т.е. s .= 0, 1, 2,..., были справа от него. Случаи, когда — а, — b или — с являются неотрицательными целыми или a—b рдвно целому числу, исключаются.
Формулы линейного преобразования
Из 15.3.1 и 15.3.2 можно вывести формулы преобразования F(a, b; с\ z):
15.3.3. F(a, b; с; г) - (1 - z)'-'-"F(c -a,e-b; с; z).
153,4. Ffe 6; с; z) = (I - z)-«fjo, с - 4; с; —Ї—j.
15.3.5. F(a, 4; c;z) = (1 — z)-sF^4, с - a; c; —J-j- j.
15.3.6. F (a, b; с; z) =
Де) Де - a - 4)
"Де-а) Де-4)
Ffe + 6 - f + 1; 1 - г) +
Г(я)Д4)
15.3.7. Ffe 4; е; z) -
Г(с)Г(6 -а)/
-а, с — 4; с — а — - 4 + 1: 1 - z) СI arg (1 — z) 1 < тг).
^ (-z)-* р(а, 1 - с + a; 1 - 6 + а; -Ц + Г® Г(с - о) г 1
ТО «<¦:!»<_,>-. Wi. 1 — с+4; 1—а +4; —) 6) I z J
(IargC-Z)I <*).
Да) Г(с 15.3.8. Ffe 6; с; z) =
_ (, _ zy mutz* Ла, с - 4;а - 4 + 1; -L) +
Дб)Г(е-а) I l-zj
+ (1 - z)-
,_,Г(с)Г(а-4) , Г(а)Г(е-
—'F(b, с-а; 4-а+ 1;—!—) -4) I 1 - Zj
(latgd <•")¦
15.3.9. Ffe 4; с; z) =
_ Де)Де - a - 6) ^af " Де — a) Де — 4)
I a,a—c + l;a+b—c + l;l — Г(С) Да + 6 - с) ц _ 2„_с х
1 )
Да)Г(4) X F Ic — а, 1 — а; с — а