Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
-^?-; L = 0,1, р = 1(0.2)20; Ig т) = - со, dp
-0,8(0.1)0.8, 5S.
14.17. Павинский П. П., Кричагина А. Р. Табли-
цы волновых функций кулонова поля. — ІК, эксперим. и теор. физ., 1939, 9, № 4, с. 419—425.Глава 15 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ф. ОБЕРХЕТТИНГЕР
СОДЕРЖАНИЕ
15.1. Ряды Гаусса, элементарные частные случаи, частные значения аргумента ............370
15.2. Формулы дифференцирования и соотношения Гаусса для смсжьых функций .... 372
15.3. Интегральные представления и формулы преобразования ........................................373
15.4. Частные случаи функции F(a,b;c;z) ................................................................................375
15.5. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение ....................................................377
15.6. Дифференциальное уравнение Римана .................................................................378
15.7. Асимптотические разложения ............................................................................................379
Литература ........................................................................................................................................379
15.1. РЯДЫ ГАУССА, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АРГУМЕНТА
Ряды Гаусса
Кругом сходимости гипергеомеїрического ряда Гаусса 15.1.1. F(aу Ь\ с; х) = Ъ; с; г) =
ОяЬ (Ь)п _
(с)я пі = Т(с) " Г(д + и) Г(& + п) z»
-F(b, с;
Г(а)Г 0) І
Г(с + «)
является единичный круг |г|=}. На окружности круга сходимости ряд ведет себя следующим образом:
a) расхода гея при Re (с — а — b) — 1;
b) абсолютно сходится при Re (с — а — Ь)> 0;
c) условно сходится при —1 < Re (с — а — b) ^ 0; точка z = I исключается.
Ряд Гаусса сводится к многочлену степени и относительно 2, если а =—п или b = — п (п = 0,1,2,...) (см. также 15.4). Ряд 15.1 J теряет смысл, когда параметр с равсп —m (т = 0,1,...), а а или b не равны отрицательному целому п, где и < т. Для с = —т л
15.1.2. Iim — F(a, Ь\ с; г) = »Г(е)
«Ма + т + 1, Ь + т + 1; т + 2; г).
(д)та+х Ф)т+1 (т + 1)1
Элементарные частные случаи ряда Гаусса (Случаи, сводящиеся к высшим функциям, см. в 15,4.)
15.1.3. F(l, 1; 2; z) — -тг1 In (1 - г).
15.1.4. -f; «¦)- і2~чі1(ї^)'
15.1.5. \\ -2aj = г-1 arctg г.
ИЛА FtL, I . I^U
\2 2 2 )
-(1 -zynF^l, 1; I; ZsJ-=Zj arcsin z.
15.1.7. wi. i; ii -zsi-
\г г г !
= (1 + г')1« F^l1 1; i; -z!j - г"1 In [г + (1 + zs)"s].
15.1.8. F(u, b; b; z) = (1 - г)-».
15.1.9. F ^a, i + a; i; z1j и
= i + z)j« +(1- z)-»°j .
15.1.10. F^a, I + а; I; zsj =
= I zJ(l - 2d)"1 [(1 + z)i-f -(1- z)1-"]. 2
15.1.11. F^-o, a; I; -z8j -
= I ДО + Zs)"2 + z]» + [(1 + z')1" - zp).15.1. ряды гаусса
371
'(y-ij;-*)-
Cl + Zs)-1" {[(1 + z!)I,a + г]'«"1 + [(1 + г')1« - г]'«-1}.
15.1.12.
?
" 2
15.1.13. F (a, 1 + а; 1 + 2а; г) =
- 22°[1 + (1 - zM-™ = = (1 -г)>"ґ(і - а, І + а; 1 + 2а-, г) .
15.1.14. F (о, і + а-, 2а; z) =
= 2м"41 - г)"1" [1 + (1- г)1"]1-"-
,. , .. ..( . 3 .5 1 sin [(2а - 1) г]
15.1.15. Fla, 1 — а; —; sms z =---—- .
V 2 J (2а- 1) sin z
15.1.1«. F [а, 2 - а; -. sin' z) _ .
I 2 ) (а - 1) sin (2г)
15.1.17. f(-o, a; 1; sin2z) = cos (2az).
15.1.18. Ff4I-,;!; sirf z) = СЮГ(2я-1)г' .
V 2 } 60s z
15.1.19. F (а, і + а; 1; -tgsz) - cos!" z cos (2az).
Частные значения аргумента
15.1.20. F(a, Ь; с; 1) :
Г(с)Г(с -а - Ь)
Г(с - а) Г(с - Ь)
(с Ф 0, -1, -2..... Re(c - а - Ь) > 0).
15.1.21. F(a, Ъ; а - Ь + 1; -1) =
»2-W -
Г(1 + а - 6)
r(l+Hr(l+D
(1 + а - 6 ф 0, -1, -2, ...). 15.1.22. F(a, Ь; а - 6 + 2; -1) =
¦ 2~W\b - I)-1 Г(а - Ь + 2)Г
r(f)r(f + f-6)
Г(ї + ї)Г(1 + ї-*)і
(а - Ь + 2 ф 0, -1,-2, ...).
15.1.23. F(l, а; а + 1; -1) = 15.,24.^,6; f + | + l;l)_
(1 + 1 + 1,0,-1,-2,...).
15.1.25. F fa, »; •?+* + 1; 11-
I 2 2 2 J
-[г(М)г(і)П (1(0 + 6)+1 #0, -1, -2, ...)¦
15.1.26. F ^a, 1 - a; b; Ij -
;
(ьфо, -ї; -2,...). ^,(,.,:. + .,1)-.(+(1 + 1)-^)]
(аф -1, —2, -3, ...).
15.1.28. F (а, а; а + 1; І) =
—НМНШ]
(аф -1, -2, -3, ...).
15.1.29. F (а, 1 + а; — - 2а; - 1) -
(. 2 2 З J
(1-І
(1-2^0,-1,-2,...).372
15. гипергеометрические функции
15.1.30. F (а, і + а; - + о; -] . \ 2 6 9 J
rf1 + ")
-Ь—и-
1+^*0,-1, -2,J.
6 3 I
15.1.31. jL, і+ і; + -; е'чз] = І З З з з ' J
. 230/3+3/3^1/23-(^+1)/3^(13./8 _
If+IL
(1
IfnHD
Л б '
15.2. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И СООТНОШЕНИЯ ГАУССА ДЛЯ СМЕЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Формулы дифференцирования
15.2.1. — F(a, 4; с; z) . dz
15.2.2. — F(a, b; с\ z) = dz«
(a). (4), (<0.
-F(a + 1, і+ Ii с+ 1; г).
F(a + и, b + п; с + п; г).
d"
15.2.3. -=- [za+*-lF(a, 4; с; z)] (a)nza-1F(a + и, 6; с; z). dz«
15.2.4. — [z'-'FCa, b; с-, г)] = dz«
— (с — n)»2*'"-1 ^(о. b; с — п; г).
15.2.5. — [2"-"+«->( 1 - z)'*"-'F(a, b; с; z)] = dz«
= (с- я)„ z«-°-i(l - z)"+"-'-»F(a - п, Ь\ с, z).
15.2.6. — Kl - г)»+1-" Fla, b; с; z)] = dz*