Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
>+ 1; 1 -
(І arg z| < к, I arg (1 - z)I < it).
Каждый член равенства 15.3.6 имеет полюс при с — ¦ а + 6 & m On - 0,1,2,.,.). В этом случае получаем 374
15. гипергеометрические функции
15.3.10. F(a, Ь\ а + Ь\ г) -
- f^l tTf^" + о-«. + *>-
Да) Ці) («О
- ф(4 + л) - InCl - г)] (1 - г)» (Iargd - г)I Il -г|<1). Кроме того, дня т - 1,2.3,... имеют место соотношения
15.3.11. Fia, Ь; а + і + т; zj-
Г(м)Г(а -!¦ Ь + т)
(а). №),
До + м)Г(4 + ет) її !(1 - m),
E
(I - г)" _
Да) I» & n'.(n+m)l
X Dn(l - r) - ф(л + 1) - ф(л + от + 1) +
+ ф(д + л + т) + ф(6 + п + т)] (Iarg(I-Z)Kn1 Il — zI < 1),
15.3.12. Fia, Ь; a + b-m;z).
Tjm)Vja + Ь-т) Г(«)Г(6)
X (1 - Z)-У- ("-").(4^^(, _ z)„ _
Т(а - т)Тф - т) ^s п\(п + m)i
X IinCl - z) - ф(л + 1) - ф(л + т + 1) +
+ ф(о + я) + ф(Ь + и)]
ClargCl -z)| < я, Il ~z I < 1).
Аналогично, каждый член равенства 15.3.7 имеет полюсы при b а A т или b — а = ?ЬлI, и в этом случае
15.3.13. Fiflt о; с; z) _ Г(с)
<о)„(1-с + а)„.
-(-?)-• У - ..
Г(„)Г(с-я) ^0 (и!)3
X [ln(-z) + 2ф(и + 1") - ф(а + л) - ф(с - а - п)]
(I arg (-i)| < 7t, I z| > 1, (с - а) # 0, ±1, ±2, ...).
Для случая b — а = м im = I, 2, 3, ...)
15.3.14, Fia, а + т; с; z) — F(a + т, о; с; z) —
Г(о + т)Г(с - a) fa nl(n + т)!
X DnC-г) + ф(1 + т + п) + ф(1 + п) — —ф(а ; т + и) — ф(с — а — т — и)] +
+ (-г)""
Г(с)
Т(т - п) (а)п
Г (a + т) ^0 л!Г(с - а - п)
<|arg<-z) | <тї, Ul > 1, (с — а) Ф 0, ±1, ?2, .,.).
Случай с ~ а = 0,-1,-2,... является элементарным (см. 15.3.3), аслучай с — а — 1,2, 3»... можно получить из 15.3.14 предельным переходом (см. [15.2]}.
Формулы квадратичного преобразования
Квадратичное преобразование существует тогда и только тогда, когда числа tfcd — с), tk(a — Ь), <Ь(а 4- Ь — г) таковы, что либо два из них равны между собой, либо одіто равно 1/2. Основные формулы принадлежат Куммеру [35.7], а полеый их набор получил Гурса [15.3]. См. также [15.2].
Ъ + 2 2
I;
2 4z-4 J
15.3.15. F(a, Ъ; 2Ь; z) -= (1 - z)~«'• . b -
15.3.16. Fia, b-, 26; z) —
15.3.17. Fia, b; 2b-, z) -
-(j + jVT^y%[a,a-b+±-,b+±:
(l • V Ji
15.3.18. F(a, b; 2b; z) -
- (1 - zy*»F(a, » - «i » + JL ; - .
{ 2 4Vr-=^ J ¦
15.3.19. Fp, а+ і ; с; zj =
- (І+1 ^Ph rrSai-
15.3.20. f^cr1 а + і; с; zj =
= (1 ± Vz)-8^ (га, с - і ; 2c - 1; і -2--) ¦
I 2
15.3.21. F ^i, a + J; с; zj =
= (1
-z)-' f|: r|a, b; a
2a, 2c -2a —1; c\
¦ VE
2 Vl •
B-
+ b + - : zl 2 !
— F^2a, 2b;a + b + ~; 1-і Vl-^]-5.3.23. F Ь; a + b + i; zj =
= ({+.} VT^p ^? «_» + i;
"г ' + i)
0+6 + - 15.4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ФУНКЦИИ
375
15.3.24. F(я, 6; о + Ь - -I; zj =
= (1 - z)"1" F ^2а - 1, 24 - 1; а + 4 - і ;
1-і Vnri]. 2 2 J
15.3.25. 4; a + 4 - і; zj =
¦О -'-)""({ + {Vb^pX
xW^-l.«-» + !!« + »--!-;
^ 2 2 Vi^r?+ J
15.3.26. Да, 4; a-b + 1; z) =
= (1 + z)"» ff-, і + I; a — b + 1; 4z(l + z)"2l .
U 2 2 J
15.3.27. Да, 4; a-b + 1; z)-
- (1 ± f а - 4 + -і ;
2a-2b+I; ± 4 ± -MjJ •
15.3.28. Ffe 4; a-b + 1; z) •
=(1 - zy
-fli, і
U 2
4 + -і; а - і + 1; -4z(l-zf 2 2
I'
15,,,,(, + | +
( 2 2 2 2 2 2 (1- 2z)*J
15.3.30. J^1 4; f+ { + }: «)-
U 2 2 2 2 J
15.3.31. F(a, 1-а; c; z) -
_0 _гГ1 *¦(?_?. ?+ 4z-4z«].
(.22 2 2 2 J
15.3.32. Да, 1-а; c; z) =
= (l-zr'a_2z)»-^ U-Z, i-i+Ijc;
І2 2 2 2 2
(4z® - 4z) (1 - 2z)-«j .
Кубичные преобразования даны в [15.2] и [15.31. В приведенных выше формулах квадг>атш.ш корень определен так, что его значение является действительным и положительным при 0 < Z < 1. Все формулы справедливы в окрестности ТОЧКИ Z = 0.
Многочлены (Одно из чисел а,Ь — отрицательное целое.)
15.4.1. F(-т, Ь; с; zj = ^
15.4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ФУНКЦИИ F(a, ь; с; z)
15.4.3. F^-n, в; I; X J - 7-,(1 - Ix).
15.4.4. Д-я, n + 1; 1; x) «= f„(l - 2x).
15.4.5. f!-k, n + 2a; a H- -і; x) - Ci"(l-2x).
I 2 ) (2a)„
15.4.6. Д-п, a + 1 + ? + n; a + 1; x) -
4а-В)(1 -2x).
(-"0,(4),, z"
(c)„ n!
Эта формула справедлива также при с = —т — I; т,1- 0,1,2,...
15.4.2. Fl—m, Ь; -m-I;z)~f- t^k^k Il ?ґо l-m-1)» пі
Некоторые частные случаи формулы (15.4.1):
(« + 1)»
Здесь Tn — многочлены Чебьппева, Pn — Лежацдра, Cf"1 - Гегснбауера, - Якоби (см. гл. 22).
Функции Лежаидра
Функции Лежандра связаны с тем специальным случаем гипергеометрпческой функции, для которого существует квадратичное преобразование (см. 15.3).
15.4.7. Fla, Ь; 24; z) = 2,м Г (1 + ij z1«-^! -z)(°-"-w>« ^1??,, Ці - -Ї-J (1 - .
15.4-8. F(a, b; 24; 1)=218!!-1"
IH
Г(2І - а)
-»(1 — ?)(6-"]'= е<4»
376
15. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
rfl + »)
15.4.9. F(a,4;24; -г) = г"тС>" —L?-1 Z-6U + і)С-ч««-иі'-*да fl + -] (1 arg г і с я, |arg(l ± г) | <
Г(о) I г )
15.4.10. F \а, а + I; с; zj = 2«-1 ВД z1«""^ - гУ^-'" Pfc[(l - г)"1"]
(I arg z I <ir, Iarg (1 -z)| < it, z ф (0, -00».
15.4.11. pja, a+-I; с; xj = 2«"1 Г(с) (-x)1'»-"2 (1 - іГ"™ PfctCl - хГ"!] (-ю<х<0).
