Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Отрицательный параметр Если т — положительное, то, полагая
16.10.1. Ц = —--, JA1 = —-— . V =
1 Tffl 1 + M
А"
(о< ц< 1),
получаем
16.10.2. sn (u| - т) - n5«sd(v| ц),
16.10.3. сп (u 1 — та) — cd (v| ц),
16.10.4. dn (иi - ш) = nd (vi (і).
16.11. ОБРАТНЫЙ ПАРАМЕТР (ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЯКОБИ)
16.11.1. т >0, 1л - m-\ V = ига1".
16.11.2. sn (ulm)= [i1'2 sn (v| ii).
16.11.3. сп (u| т) = dn (v I ц).
16.11.4. dn (Ulm)=» cn (v| Ii).
Если m > 1, то irr1 = < 1. Таким образом, эллиптические функции с действительным параметром могут быть сведены к эллиптическим функциям с параметром, лежащим между нулем и единицей.
16.12. ПОНИЖАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА (ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАУССА)
Для уменьшения параметра положим
(.1 + м\'~) 1 + JA1'»
(1 + U1^sn <У[ ц) t
1 + ц1'* SHaC I Ej-) ' CtV (v' I H-) (v S H-)
тогда
16.12.2. sn(«| m) =
16.12.3. cn («Im)
16.12.4. dn («I m)=
dn2 (v| ji) - (1 - ц1*) (1 + JX1'2)- dna (v|H) '
Заметим, что последовательное применение этого преобразования может быть использовано для нахождения функции sn (а\т) через sn(v| и) и функции dn («im) через dn (v I ;i). Функция со (н \т) вычисляется через все три эллиптические функции Якоби1).
1 + h1'2 soa (v I jx)
16.13. АППРОКСИМАЦИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Если параметр т настолько мал, что можно пренебречь Wi2 и более высокими степенями т, то имеют место выражения
16.13.1. sn (и I т) « sin и--т(и — sin и cos н) cos и,
4
16.13.2. сп (ы| т) » cos и + — т(и — sin и cos и) sin и, 4
16.13.3. dn (й| т) и 1--т sin8 и,
2
16.13.4. am (и і т) » и--т(и — sin и cos и).
4
Один из методов вычисления функций Якоби заключается в применении понижающего преобразования Лан-дена для приведения параметра т к значению, дающему возможность применять эти формулы (см. также 16.14).
16.14. ПОВЫШАЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАНДЕНА
Для увеличения параметра положим 4л11/а
16.14.1. [х =
(1 + тХіг?
( 1 - т1'2 V { 1 + m1'2 )
1 + цр
г* + = 1;
16.14.2. sn (и I «> - (1 + Щ*) snCvlp.) cn (VlH), dn (v| іл)^
16.14.3. сп (и I т) =
1 + ji]/a dn2 (v І ц) - -j.1/3
dn (v I ji)
г) Схема вычисления эллиптических функций Якоби с применением понижающего преобразования Ландена заключается в следующем: последовательным применением формулы 16.12.4 или 16.12.2 с использованием соответствующих формул 16.13 вычисляется одна из функций, dn(o|rti) или sn(«|m).
Далее по формуле 16.9.1 элементарно вычисляются две другие определяющие функции Якоби и по формулам п. 16.3 — все остальные. (Прим. nepes.)
25 — под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кармазиной 386
16. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ И ТЭТА-ФУНКЦИИ
16.14.4. dn (и ] т)
- 1 - Ei" dna(v| p.) + ^8 _ F- dn (v I
Заметим, что при последовательном применении этого преобразования проще всего вычислять функцию dn (и\т),
так как она выражается только через dn (v I ja), в терминах когорой выражается ис.п (и\т)\ вычисление функции sn(«|/n) требует использования всех трех функций Яхсби').
16.15. АППРОКСИМАЦИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Если параметр т настолько близок к единице, что можно пренебречь т\ и более высокими степенями тъ то имеют место выражения
16.15.1. sn (u I т) « th и H--mx(sh и ch и — и) sech® и,
4
16.15.2. сп(м! ти) «
« sech и -
Wj(sh и ch и — и) th и sech и,
16.15.3. dn(«|m)
SS seel
16.15.4. am (и] m)
sech и + — mi(sh и ch и + и) th и sech ы, 4
» gd и + — Ttt1Csh и cb и — и) sech и • 4
Повышающее преобразование Ландена, приводящее параметр т к значению, дающему возможнее! ь применять эти формулы, служит основой другого метода вычисления функций Якоби (см. также 16,13).
< ІЬЯО»*" 16.16. ПРОИЗВОДНЫЕ
Функция Производная Функция Производная
16.16.1. sn U сп н dn и 16.16.7. de и mi sc unc u
16.16.2. СП U —sn «dn и полюс л 16.16.8. пс и sc ы de и полюс с
16.16.3. dn U —т sn и сп и 16.16.9. SC и de и пс и
16.16.4. cd и —/H1 sd и nd и 16.16.10. ns и —ds и es и
16.16.5. sd и cd и nd и полюс d 16.16.11. ds и — CS и IIS (( полюс S
16.16.6. nd и т sd и cd и 16.16.12. CS и —ns и ds и
Заметим, что производные пропорциональны произведениям двух сополюсных функций.
16.17. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
16.17.1. sn (м + v) =
sn и cn V dn V + sn V сп и dn и [ — m sn8 и %Т? v
16.17.2. сп (и + v) =
сп и сп у — sn » dn и sn v dn у 1 — Ttt SB? U sn8 V
16.17.3. dn (W + v) =
dn ц dn у — m sn и сп и sn у сп v 1 — Ttt Sn3 U sna V
Теоремы сложения получаются одна из другой и Moryt иметь различные формы записи. Так, ns(« + v) получается по формуле 16.17.1 из I / sn (и + v) в виде
(I — m sn2 и sn2 v)/(sn и cn V dn у + sn V сп и dn и).
Иначе, используя представление ns(u+v) — — Wj^snx X {(іК' — и) — у) и формулу 16,17.1, полупим
, . ч ns V es и ds и — ns и es v ds v
ns (u + v) ----.
ns3 и — ns2 V
Функция pq (u + v) является рациопальной функцией от Pq РЧ v, pq' и, pq' v.
') Схема в отчисления эллиптических функций Якоби с применением повышающего преобразования Ландена заключается в следующем: последовательным применением формулы 16.4.4 с использованием формулы 16.15.3 вычисляется функция dn (и\т). Далее по формуле 16.9.1 элементарно вычисляются дне другие определяющие функции Якоби и по формулам п. 16.3—все остальные. (Прим, иерее). 16.22. ПЕРВЫЕ ЧЛЕНЫ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СТЕПЕНЯМ
