Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.3.26а) An(ki.....kt, ..., kn) = K(ki, .... —ki, ..., kn).
(ii) Д„ симметрична относительно перестановки kj и k-h т. е.
(3.3.26b) Ae (ku ..., kh ..., k,.....kn) =
= Ara (ki, ...> kj, •••, ki, •••> kn).
Соотношение (3.3.26а) легко получить, заменив ki-*-—ki и Oi —*—Oi (немой индекс) в (3.3.23). Симметрию (3.3.26Ь) нужно проверить только для произведения. Но поскольку
(3.3.27) П (aiki — оjkjf = (— 1)<га'-">/2 П (Oiki-OiUj),
1<i<l UZ=1
1 + 1
то ясно, что произведение симметрично относительно перемены мест kp и kq. 206 3. Различные перспективы
Вычислим А„ при Аі = 0: (3.3.28) Д„ |Ai_0 Sifi1 = O1 A2, ..., AJ =
= ZZ {-rz^ofz^ + fz^Yjx
(Ji = ±l осталь- I. Vi = 2 / \t' = 2 / \i=2 / J
ные (J=±l
хПА? Z Пшл.,
і =2 2 <('</'
(отметим, что здесь A„_, = А(А2, A3, ..., An)). Аналогично вычисление Д„ при A1 = k2 дает
X
(3.3.29а) ДД1=йа= Z Z {-((*,+ а2) A1+ ?<W)
<7ь0з=±1 осталь- V V <=3 /
ные 0=±1
X ((ст, + (T2) fe? + Z Olkl) + ((«Tl + К + Z (TiAi) } X
п _
X ((T1 — а2)2 А? п (Or1A1 — агАг)2 ((T2A2 — Oikif п ((T1Aj- — (TfAf)2.
?=3 3 <(</
Мы видим, что вклад возникает только при ai = —о2, поэтому
(3.3.29b) An \к k = 8А? Z {-(toik^ + itoiti) +
1 (a3.....a„) = ±l V Vi-з / Vi=3 /
+ (ZcriA2)IxnW-^)2 П (Oiki-Ojkj)2 =
Vi =3 / J і=3 З <і</
з
где Д„_2 = Д(А3, A4, ..., А„). По индукции заключаем, что и A4I^0 = 0, и Д„ Ift при всех /г. Поэтому Д„ содержит множитель A1 (A1 — A2), но из свойств симметрии следует, что A1 и A2 можно заменить на любое Ai, откуда ясно, что при любых г, j
AnIfti-O = O, AJfti-fe/ = 0,
и поэтому полином An должен иметь множитель
П kt п (ki -kj) или Jlkl П (Ai-A,)2.
г = 1 г,/-I ? = 1 KKl
ІФ! 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 207
Но поскольку А л является четной функцией каждого ki, то An должен содержать множитель
(3.3.30) ш? П (kl-k))2. (=1 1 <(</•
Это означает, что порядок полинома An должен быть по крайней мере равен 2л2, т. е.
order (An) >2 п2.
Но поскольку 2п2 > л2 — л + 4 при всех л ^ 2, то мы приходим к противоречию, т. е. An не может одновременно удовлетворять неравенствам order (А„) ^ п2 — л + 4 и order (An) ^ 2л2. Единственный выход состоит в гом, что при л>2
(3.3.31) An = O.
При л = 1 формула (3.3.31) также верна (см. (3.3.25а)). Таким образом мы доказали., что функция А в (2.3.23) и поэтому А в (3.3.19а) равны нулю. Тем самым мы проверили, что jV-солитон-ное решение и = 2d2(In Fn) Jdx2 действительно удовлетворяет уравнению КдФ. ?
3.3. Ь. Некоторые другие нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Обратимся теперь к другому аспекту прямого метода. Хирота [218] отмечал, что очень часто нужная замена зависимой переменной может быть выведена регулярным образом. Мы проиллюстрируем его подход на примере уравнения мКдФ
(3.3.32) vt+ bv2vx + Vxxx = O.
Подставив v = F/G в (3.3.32) и воспользовавшись определением операторов Dx, Dt, мы получим
(3.3.33) (Dt + D3x) G- F + уг (DxG • F) (j D2xF-F- G2) = 0.
Так как обе функции FuG произвольны, мы можем расщепить уравнения следующим образом:
(3.3.34а) [Dt + D3x)G-F = 0,
(3.3.34b) D2xF-F = 2G2.
Такой выбор расщепления обусловлен дисперсионным соотношением линеаризованного уравнения. Следующее разложение 208 3. Различные перспективы
приводит к солитонным решениям (таким, что 1)-»-0 при \х\->-*¦ оо):
F= 1 + E2F2 + BiFi + (3.3.35) G = EG1 + ^+....
Здесь каждое из разложений обрывается. Например, односоли-тонному решению отвечает
{dt + dl) G1 = О,
G1 = Л Th = M-*?' +лГ,
Q2xF2 = G\ = e^,
F2 = Лг е24',
(3.3.36)
to== Ak! Fi = 0, /> 4, Gy = O, />3.
При є = 1 с учетом (3.3.36) получим односолитонное решение уравнения мКдФ
(3.3.37) с =-LLr-=MechTh.
\+е 1IAk2l
Функции G и F (v = G/F) для двухсолитонного решения можно представить в виде
G = е". + е4» + -L ^.+2? +
(3.3.38а) 4ftI ^kI + kZ/
^=1+1^,+ * + 2 +
4/?2 4fe2 +
. (fei — k2)4
Отметим, что F можно привести к виду (3.3.38b) + +
При этом G можно переписать следующим образом: (6.3.38с) G = 2Dxg-f. 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 209
Таким образом, v имеет вид (3.3.39а) v = 2 ?хё^ = 2
р + й2 їчі + wm
или
(3.3.39b) и = 2(агс1ё4) = і fin .
V I ' х \ I + ig Л
Если мы определим / = f + ig, то получим формулу замены зависимой переменной:
(3.3.40) г> = /( lnj)x.
Перейдя к этой новой зависимой переменной, мы получим билинейные уравнения
(3.3.41а) (Dt + D3x)r-f = 0,
(3.3.41b) DlH = O.
Чтобы получить iV-солитонные решения, разложим / в ряд
подставим его в (3.3.41) и приравняем нулю коэффициенты при каждой степени є. Одно- и двухсолитонные решения даются формулами (є = 1)
(3.3.42) I2= 1 + + е^+іл'2 + e**+rb+in+Au,
ч,=м - +Tf, ^/=(4^?-)2-
iV-солитонное решение имеет следующую структуру:
/N N ч
(3.3.43)/*= ? exPlE ^Ctl'+ /т)+ ? H/M//I-
H=O1I 4 = 1 1<2</ '
Для полноты мы приведем также результаты по уравнению sin-Гордон ([212]; см. также [99, 100]) и по нелинейному уравнению Шрёдингера [213]. Рассмотрим вначале замену зависимой переменной
