Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.3.44) и = 2І In (?•)
для уравнения sin-Гордон
(3.3.45) uxt = sin и. 210 3. Различные перспективы
(Читатель, вероятно, вспомнит результаты гл. 1, устанавливающие глубокую связь между уравнениями sin-Гордон и мКдФ.) Из (3.3.44) следует, что
(3.3.46) sinu=J_((X)2_(r)2),
откуда подстановкой (3.3.44) в (3.3.45) находим
(3.3.47) DxDtf • / = - ^ (Г - Ї2)
и комплексно сопряженное уравнение. Односолитонное решение уравнения (3.3.47) получится, если взять
(3.3.48а) /,=
а М-солитонное решение имеет вид
/ N N \
(3.3.48b) fN = ? exPl (tI/ + ''-?-)+ Z
(1 = 0, 1 \=1 1 <!</ '
где
(3.3.48с) T
ni = kix-a>i( + ^, і
А,, _ _ (fei — fe2) (tOi — <Ог) _ (fei — fe2)2 (fe, + fe2) (cd, + cd2) — (fe, + fe2)2 •
Отметим, что если
f = F + iG (F, G вещественны), то (3.3.47) можно переписать в виде (3.3.49а) DxDt (F-F-G-G) = 0, DxDtF G = FG и
(3.3.49b) « = 2Hn-j^|r==4arctg-?.
В случае нелинейного уравнения Шрёдингера [99]
(3.3.50) іЩ + Uxx + |и|2и = 0
возникает более сложная структура N-солитонного решения. Подставив u=G/F (F вещественно) в (3.3.50), получим
(3.3.51) уг (IDt + Dl) G -F--^r (dIf • F - GG') = 0;
при этом мы расщепим уравнения следующим образом:
(3.3.52) {iDt + Dl) G ¦ F = 0, D2xF-F = GG'. 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 211
Поэтому
(3.3.53) І м|2 = Ц- = Щ^ = 2 (Ina*. Односолитонному решению отвечают
с = е\
F=I +ei,+4*+<Puf
(3.3.54) TI1 = ZvC-Q1/ + ,^, Q { = -ip\,
^-Upi + PT2.
N-солитонное решение имеет вид
/ 2n 2 n \
F= Z ?>і(ц)ехр( Z + Z Фг/М'їМ'/ ),
/• 2ЛГ 2ЛГ \
G= Z D2WexpI E Ц;% + Z ф/у1*/1*/1.
д=о,і — \г=і і<і</ /
Пг = P1X -QiI + л®, рг+д, + р*, 0/+Дг = 0;. i=l.....N,
^+W = rIi' Q1 =-ip],
Y (pi + р/)~2 для г=1, 2, ..., JV и j = N+l,...,2N,
e41^ =
где
Upi-P1T2 для / = JV+ 1.....2N и / = ^+1,...,2^,
(3.3.55)
JV n
1, если z Hi = Z Ці + лг,
г=і t=i в остальных случаях,
n n
02(ц) = <| 1> если 1+ Z ^= Z
О в остальных случаях.
3.3. с. Дискретные эволюционные уравнения. Многие из вычислений, приведенных в предыдущих пунктах, можно распространить и на случай обсуждавшихся дискретных задач (см., например, [226, 227]), Здесь мы проанализируем случай цепочки Тоды
(3.3.56) J^M- = е-(Уп-Уп-і) - е~(уп+ГУп). 212 3. Различные перспективы
Определим гп = уп— Уп-и тогда из (4.3.56) следует
(3.3.57) -?- = Если определить
(3.3.58) r„ = -ln( \ + Vn), то V подчиняется уравнению
(3.3.59) d4n(ldttVn) = Vn+,-2Vn + Vn^.
С физической точки зрения уравнение (3.3.59) описывает нелинейную лестничную линию передачи, и Vn является потенциалом /г-го узла [229].
Воспользуемся заменой переменных
(3.3.60) Vn =
(отметим, что индекс обозначает координату узла, а не число солитонов). Подставив (3.3.60) в (3.3.59), получим билинейное (квадратичное) уравнение
(3.3.61) 1 D2Fn • Fn = FnttFn - F\t = F ^F п_х - F2n.
Аналогом оператора Dx служит оператор Dn, удовлетворяющий соотношению
(3.3.62) е°пап - bn = edn-dn'anbn>\n^nr = an+lbn_l, где едпап = ап+1. Поэтому
(3.3.63) ch DnCtn = ^ (a„+i&„-i + ап_фп+х). Воспользовавшись (3.3.62), перепишем (3.3.61) в виде
(3.3.64) jD\Fn. Fn = (ChDn-I)FnFn, или
(3.3.65) ±D*Fn.Fn = 2stf(±Dn)Fn.Fn.
Опять применима теория возмущений, т. е.
Fn = i + 4» + e2fL24 ....
Односолитонному решению отвечает FlP = 0, 2, Таким образом,
Frtil=I+^1, Tl1 = M-CO1*,
(3-3-66) ¦„, ґп , kV
»J= (2sh І)2; 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 213
поэтому потенциал Vn имеет вид
,o1
Va = - Sech2-J Tli-
(Одноеолитонное решение может распространяться как вправо, так и влево.) Можно показать, что УУ-солитонному решению отвечает
(3.3.67а) Fn,N= Z ехр( Z HiTi, + Z Аф^Л, (1=0,1 Vi = I 1 <і</ /
где
Tli = PiZt-Q1./ + nf,
Qi = 2Zi sh -W P1, Ei = ± 1,
е U = —
или
(3.3.67Ь)
елч =
(Qi-Qi)2 -(2 sh і (р.. -р.))2 (QiH-Qy)2- (2 shl (р. +Pj)y'
если Zfij > О,
Shi-(Pi-P7)42
Shj(Pl-Pj)
chT ~ p?)n2
,ch-і (Pi +P1),
если Zfij < 0.
3.3. d. Преобразование Бэклунда в билинейной форме. Интересно при помощи прямого метода вывести преобразования Бэклунда и перестановочные соотношения для уравнения КдФ. Мы начнем с N(ftr)- и (N +- 1) (/лг-н)-солитонных решений (здесь индекс обозначает число солитонов) уравнения КдФ в билинейной форме:
(3.3.68а) Dx(Dt + D3)fN-fN = 0,
(3.3.68b) Dx (Dt + D3x) fN+l • f N+l = 0.
Мы покажем, что при заданном мы можем найти fw+i, решив линейное уравнение [217].
Умножив (3.3.68а) на f2N+l и вычтя из него (3.3.68Ь), умноженное на f2N, получим
(3.3.69) P = [Dx (Dt + D3x) fH . /„] fN+1fN+1 -
~[Dx(Dt + Dl)lN+l-fN+i]fJN = 0. 214 3. Различные перспективы
Воспользовавшись тождествами (которые можно легко проверить)
(3.3.70а) (DxDJn • fN) fN+lfN+l - fNfNDxDtfN+l ¦ fN+i =
= 2 Dx[(DtfN • fN+i) fNfN+1], (3.3.70b) fNJN+l (DJn • fN) - fNfND*JN+l ¦ fN+l =
= 2Dx [(DlfN • fN+l) fNfN+l - 3 (,DlfN ¦ fN+l) (DJn ¦ fN+[)],
мы получим, что P сводится к
