Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(И) Отрицательный результат, полученный для конкретного уравнения, наводит на мысль (и только), что никакой другой метод, обсуждавшийся в этой главе, также не будет работать. То же самое и для «прямых» методов построения Af-солитонных формул, описанных в разд. 3.5, 3.6.
(iii) Если рассматриваемое уравнение имеет первый порядок по t и конечный порядок по х, то достаточно ограничиться поиском линейных псевдопотенциалов. Затем задачу можно свести к алгебраической, т. е. к поиску алгебры Ли определенной структуры. Представляется, что в каждом конкретном случае задача может быть решена, но пока что, по-видимому, нет никаких общих результатов.
Ситуация становится еще более запутанной, если допустить, что псевдопотенциал зависит от производных более высокого порядка или уравнение имеет более высокий порядок. В этих случаях вопрос о существовании псевдопотенциала приводит к системе дифференциально-алгебраических соотношений, причем неизвестно, можно ли без потери общности ограничиться поиском линейных псевдопотенциалов.
3.3. Прямые методы построения солитонных решений — метод Хироты. Одной из интересных областей в теории распространения нелинейных волн является развитие методов построения точных частных решений определяющих их уравнений. Хирота получил много значительных результатов в теории уравнений, допускающих солитонные решения (обзоры некоторых его работ см. в [218], [224] и [226], [227]). Следует отметить, что прямые методы практически всегда срабатывают для уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, а иногда даже в тех случаях, когда соответствующие задачи рассеяния неизвестны. На практике прямые методы часто побуждали к поиску соответствующих задач рассеяния и иногда приводили к таким задачам (см. [450], [393], [449] и т. д.). Прямой метод основан на следующих идеях:
(І) Произвести замену зависимой переменной (это может потребовать некоторой изобретательности, хотя имеются стандартные формы). Преобразование должно привести эволюционное уравнение к так называемой билинейной форме, квадратичной по зависимым переменным. Хирота разработал новый подход, очень удобный на этом этапе.
(ii) Рассмотреть формальные ряды теории возмущений для 200 3. Различные перспективы
этого билинейного уравнения. В случае солитонных решений эти ряды обрываются.
(iii) Использовать метод полной математической индукции для доказательства того факта, что предполагаемая солитон-ная формула действительно является решением.
В этом разделе мы тщательно проанализируем случай уравнения КдФ. Затем кратко приведем результаты, касающиеся других хорошо известных нелинейных волновых уравнений, и обсудим другие задачи, в которых этот метод результативен.
3.3. а. Уравнение КдФ в качестве примера. Рассмотрим уравнение КдФ
(3.3.1) Ut+ Quux-1T Uxxx = O.
В разд. 1.4 мы видели, что iV-солитонное решение имеет вид
(3.3.2) и = 2^ InF,
где F — определитель некоторой матрицы. Этот вид подсказывает преобразование уравнения (3.3.1). Подставляя (3.3.2) в (3.3.1), один раз интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, получим
(3.3.3) FxtF - FxFt + FxxxxF - 4FxxxFx + 3F2xx = 0.
Уравнение (3.3.3) является квадратичной формой (Хирота обычно называет уравнения такого вида билинейными); такие формы обычно возникают при правильном выборе замены зависимой переменной. Для дальнейшего анализа удобно ввести оператор
(3.3.4) DTDla ¦Ь = (дх - дх>)т (дх - дх,)п а (х, t) Ъ (*', Ґ) Ije,.,.
t'-t
Воспользовавшись этим определением, уравнение (3.3.3) можно переписать в виде
(3.3.5) (DxDt + D*) F ¦ F = 0.
При работе с этим оператором полезны следующие легко проверяемые свойства:
(3.3.6а) D™a-l=d?a,
(3.3.6b) D7a-b = (-l)mDfb-a,
(3.3.6с) Dxa ¦ a = 0, т. — нечетное число,
(3.3.6d) DmDne(kiX-ait) ш g<ft,*-«,<) =
= (kl — k2)m (— O1 + CO2)" Є<*'+*»> *-<<*+<*) t.
Имеется много других соотношений, содержащих оператор D, 3.3. Прямые методы построения солитонных решений 201
Читатель при желании может обратиться к одной из упоминавшихся обзорных статей.
Предположим, далее, что функция F может быть представлена в виде формального ряда по степеням є:
(3.3.7а) F= 1 + ер + є2р> + ...,
гдє n
(3.3.7b) fl)=te\ т], = IziX- со./ + г//4
г=1
и kt, (Oi-, — константы. В случае уравнения КдФ (и на самом деле для всех задач, допускающих точное jV-солитонноє решение) этот формальный ряд обрывается. Действительно, подставив (3.3.7а) в (3.3.5), найдем
(DxDt + D*) (1 + єр + є2р + ...) • (1 + єр + є2р + ...) = 0
и, приравняв нулю коэффициенты при каждой степени є, получим
(3.3.8а) 0(1): 0 = 0,
(3.3.8b) 0(e): 2(0^ + ^)/(1) = 0,
(3.3.8с) О (є2): 2 (dxdt + д*) р = - (DxDt + D<) P • р,
(3.3.8d) О (е3): 2 (dxdt + д<) /<3> = - 2 (DxDt + D*) р • р.
Первое нетривиальное уравнение (3.3.8Ь) является однородным. В качестве решения мы взяли (3.3.7b). Если мы попытаемся продолжить вычисление членов ряда, начав с решения (3.3.7Ь) при произвольном N, то, к сожалению, столкнемся с аналитическими трудностями. Чаще всего можно получить решение для A^ = 1, 2 (и иногда для 3), а затем выдвинуть гипотезу о структуре решения при произвольном N и доказать ее по индукции. При N = 1 возьмем р = е 1K Тогда из (3.3.8Ь) следует, что (O1=-A3. Уравнение для /(2) следует из соотношения (3.3.8с), которое при помощи (3.3.6d) сводится к (3.3.9а) (dxdt + dl)P> = 0.
