Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
3. Различные перспективы
иметь то же значение для конечно-разностных уравнений, какое непрерывные ПБ имеют для уравнений в частных производных. Работа по дискретным ПБ началась совсем недавно, но уже имеется несколько примеров дискретных ПБ уравнений в себя, построенных Ченем [101] и Хиротой [221, 224].
Мы не задавались вопросом, как определить, имеет ли наперед заданное уравнение преобразование Бэклунда в себя или в какое-нибудь другое уравнение? Этот вопрос предложил Кле-рен (1903) [111], но мы отложим обсуждение его метода до следующего раздела.
3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения. Как и в
предыдущем разделе, здесь мы интересуемся локальными решениями дифференциальных уравнений в частных производных в двумерном пространстве. Псевдопотенциалы, впервые обсуждавшиеся Уолквистом и Эстабруком [496, 497], тесно связаны с преобразованиями Бэклунда и МОЗР. Обычно теория псевдопотенциалов излагается на отличающемся от принятого в этой книге языке внешних дифференциальных форм (см., например, [384] и приведенные там ссылки), но, как отмечали Коронес [121] и Kayn [264], в этом нет большой необходимости. Изложение, принятое в этом разделе, не требует знания теории дифференциальных форм.
3.2. а. Основные концепции. В основе первой работы Уолкви-ста и Эстабрука лежит тот факт, что уравнение КдФ имеет бесконечный набор локальных законов сохранения
Ё1± л. Ml = о і = 1 2
dt + дх и' 1 Z.....
где {Ti, Fi}—известные функции u(X't) производных по X конечного порядка X и t. Каждый такой закон сохранения определяет потенциальную функцию w1:
dw. dw.
_l — F ----T
dt Гі' дх ll'
т. е.
(3.2.1) Clwi = FiCit-Tidx
является полным дифференциалом. При заданной функции и и ее производных функцию Wi можно определить интегрированием
(3.2.1). Например, записав уравнение КдФ в виде
Ut + (3 и2 + ихх)х = 0,
мы получим простейший потенциал
(3.2.2) wt = З«2 + vxx, Wx = -U1 3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения
189
т. е.
x
(3.2.3) w(x, 0 = — jj и (х, t) dx.
При подходящих ограничениях (—w) удовлетворяет (3.1.21). Таким образом, для заданного решения уравнения КдФ w является функцией от {х, /}, определенной по формуле (3.2.3). С другой стороны, рассматривая всевозможные локальные решения уравнения КдФ, функцию w можно представлять себе зависящей от пяти независимых переменных {х, t, и, их, ихх}-, при этом w определяется соотношениями (3.2.2) с точностью до аддитивной константы.
Когда w зафиксировано (выбором константы), можно расширить пространство независимых переменных до {х, t, и, их, Uxx, w} и попытаться искать новые потенциалы, определенные в этом расширенном пространстве. Это называется «продолжением» первоначального набора переменных, а последовательность потенциалов, полученных повторением продолжений, определяет структуру продолжения рассматриваемой задачи.
Следующий потенциал W\ (если он существует) подчиняется уравнению вида
(^iL = л (х, t, и, их, ихх, w), (Wl)t = Bix, t, и, их, ихх; w),
где А, В должны определяться из условия (Wi) Xt = (Wi) tx (условия интегрируемости) и того факта, что и является решением уравнения КдФ. Продвигаясь по этому пути, найдем последовательность уравнений вида (3.2.4), причем на каждом шаге функции А, В в правой части зависят от первоначального набора переменных и всех новых уже найденных потенциалов. Когда А и В известны, уравнения можно решить, взяв интегралы по известным функциям.
С другой стороны, если допустить, что неизвестные потенциалы входят также в правую часть, то последовательность уравнений типа (3.2.4) заменится на систему уравнений вида
дх (Wi) = Ai (х, (, и, их, Uxx, w) ) (3.2.5) , , , D / , Л /=1, 2, ..., N,
dt(wi) = Bi(x, t, и, их, ихх; w) )
где w = (wі, w2, ..., wN). При заданном N и известных А и В найти решение системы (3.2.5) означает решить систему дифференциальных уравнений в противоположность предыдущему случаю, когда решение получалось последовательным вычислением интегралов. Таким образом, решения системы (3.2.5) не обязательно ограничиваются обсуждавшейся выше последователь-ростью потенциалов. Уолквист и Эстабрук [496] назвали реше- 190
3. Различные перспективы
ния системы (3.2.5) псевдопотенциалами. По причинам, которые будут объяснены ниже, псевдопотенциалы, не являющиеся эквивалентными последовательности потенциалов, называются не-абелевыми.
Примеры. (1) Преобразование Бэклунда (3.1.11) между уравнениями КдФ и мКдФ является псевдопотенциалом, так как его можно привести к виду (3.2.4), т. е. (3.2.5) с N = 1:
Vx = -U-V2,
vt — uxx + 2и2 + Iuv1 — IuxV.
(2) Задачу рассеяния для уравнения КдФ (3.1.9) можно переписать в виде
¦Ф* = Ф. ^t = (а + их) г|з + (4?2 — и) ф, «Р* = - & + и) -ф, <pt = [ихх — (4?2 - 2и) (Z2 + и)] г|5 + (а - Ux )<р
Таким образом, собственная функция для (3.1.9) также является псевдопотенциалом с N ¦= 2.
(3) Обобщенная задача рассеяния Захарова — Шабата (1.2.7) с А, В, С, представленными конечными рядами, также имеет вид (3.2.5) с N = 2. Все эти п-римеры неабелевы, последние два линейны по псевдопотенциалам. Следует иметь в виду, что псевдопотенциалы, преобразования Бэклунда и МОЗР являются весьма тесно внутренне связанными лежащей в их основе концепцией совместности дх и dt. В частности, линейная задача рассеяния (без граничных условий) для заданного дифференциального уравнения частных производных является по определению тоже псевдопотенциалом. Поэтому если доказано, что некоторое уравнение не обладает псевдопотенциалами (независимо от того, линейны они или нет), тогда отсутствует задача рассеяния, и это уравнение не может быть решено при помощи МОЗР-
