Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.4.27а) дх {щ + Quux + иххх) + аиуу = О,
(3.4.27Ь)
« = 2 (In Fn)
Ntxx-
Подстановка (3.4.27Ь) в (3.4.27а) дает (3.4.28) (DxDt -+D4x + aD2y) Fn-Fn = 0.
(3.4.29а) (3.4.29Ь)
F1 = I+л F2= 1+е^+в^ + е1
,tli + % + A11
где
(3.4.29с) л,- = kt (х + PiD - (? + аРЇ) i) + ц?
,(O)
Ii .
з (kl -kj)2- a (Pi -Pjf (3.4.29d) ехрЛц= г{к. + к.)2_а(р._р.г •
8* 228 3. Различные перспективы
(O)
Взяв ещ =-1, ki-+ 0 (причем Pi = O(I)1 A1ZA2 = О ( 1)), получим
(3.4.30а) F1 = -A1O1 + О (kl),
(3.4.30b) F2 = A1A2 (O1G2) + a{P™_Pt)i + О (А3),
где
(3.4.30с) Oi = X + Ргу - а Pb,
и мы воспользовались
12kxki
(3.4.30d) ехрЛ12~1 +
a (P1-P2)2 '
Итак, мы получили следующие рациональные решения (и определяется по формуле (3.4.27Ь)):
(3.4.31а) F1 = O1,
~ 12 (3.4.31b) F2 = O1O2 + S12, Bi2= и (Pi Ip2)2 •
Хотя решения Pi и F2 имеют в общем случае сингулярности, но существует и несингулярное решение F2, если а = —1 и P2 = Pu В этом случае
(3.4.31с) F2 = O1Ol ~ (Рі 12р*у •
Положив P1 = Pя + ІРр получим
(3.4.32а) и = 2dl In |V + P RyJ + P2 {yj + -ц j .
где
х =х-{р\ + Pf) і, y' = y + 2PRt.
Выражение (3.4.32a) можно переписать в виде
((Х+РкуУ + РЇІ/Т + З/РЇУ
Итак, мы имеем решение, представляющее собой двумерный солитон (ламп), убывающее как 0(1Д2, 1 /у2) при |t/|->-oo и двигающееся со скоростью vx = p\-\-P], vy = —2Pr (см. рис. 3.1). При N = 4 можно построить двухламповое решение. 3.4. Рациональные решения
229
Здесь мы приведем результаты вычислений для N = 3, 4: (3.4.33а) F3 = G1B2B3 + S12B3 + B23B1 + S31B2, (3.4.33b) F4 = B1B2B3B4 + B12B3B4 + S13B2B4 + S14B2B3 + B23B1B4 + + S24B16ч + S34B1B2 + S12S34 + S13S24 + S14S23,
где Bi определены формулой (3.4.30с), Bij=^Ka(Pi-Pj)2). Взяв а = —1, P3 = Pu P4 = Pi в (3.4.33Ь), получим двухлампо-EOe решение. Отметим, что при этих предложениях F4 является положительной функцией и приводит к решению и (3.4.27Ь), убывающему как 0(1/х2, \/у2) при |л:|, |г/|-*-оо. В результате взаимодействия двух лампов не происходит сдвига фаз. Эти результаты согласуются с ответами, полученными в работе Манакова
Рис. 3.1. Ламп — локализованный солитон (3.4.32). Пространственная картина в фиксированный момент времени, Pr = 0, Pi= 1/8, а = —1.
и др. [350]. В общем случае, когда N = 2M, этот метод дает формулу для М-лампового решения (см. [447]). Конечно, используемый здесь метод не дает, к сожалению, ясного представления о роли этих решений в общей задаче с начальными условиями, т. е. о их типичности, устойчивости и т. д. Недавняя работа Захарова и Манакова [537] показала, однако, что для быстро убывающих начальных условий (быстрее чем 0(\/х2, 1 /у2)) уравнение К—П (3.4.27а) является интегрируемым при помощи МОЗР (см. также результаты Манакова, Сантини и Тахтаджяна [349] по вычислению асимптотик на большие времена). Постоянных солитонных решений обнаружено не было. Это, по-видимому, указывает на тот факт, что такие решения, вероятно, не играют сколько-нибудь важной роли для уравнения (3.4.27а) (в противоположность тому, как это было в одномерном случае, т. е. для уравнения КдФ).
Z
'-1.0 230 3. Различные перспективы
Нашим вторым примером является уравнение Буссинеска
(3.4.34) utt — ихх — 3 (U2)xx — Uxxxx = 0.
Отметим, что уравнение (3.4.34) является частным случаем обсуждавшегося уравнения К—П. Тем не менее рациональные решения, которые будут вычислены, принадлежат другому классу.
Отметим, что используемый нами метод работает одинаково хорошо при обоих возможных знаках дисперсии. При положительном знаке последнего члена в уравнении (3.4.34) задача поставлена корректно на бесконечном интервале (несмотря на это, при изменении знака это уравнение остается изоспектраль-ным потоком). Следует также отметить, что уравнение (3.4.34) возникает в различных физических задачах (например, волны на поверхности воды) как длинноволновое приближение. Таким образом, с учетом физического происхождения этого уравнения, задача поставлена вполне корректно. Следуя Хироте [213], положим
(3.4.35) и = 2 (IjiFn)xx и найдем билинейное уравнение
(3.4.36) (D2t-D2x-Dix) Fn-Fn = 0.
Первые два солитонных решения даются (как обычно) формулами
(3.4.37а) F1= 1=е\
(3.4.37b) F2= 1 + е"' + е* + е*+ Т12 + Лг,
где
(3.4.37с) rU = kix + eiki^l+k2it+vl?\ Bi = ±1,
и ___
,, , о7„ Ли 3(^-^+(*. д/і+^-^д/і + б2)2
(3.4.37d) е ---—т-j==-/ Ч!> .
3 (A, + k2)2 + (е, д/1 + k2 - е2 /у/1 + k2)
(O)
При N= 1, взяв е 1 =— 1 и устремив kx ->0, получим (3.4.38) Z71--ki(x± I).
Для двухсолитонного решения
(3.4.39а) ^J (4^-П 1 + i-kA) при Єіє2= 1, (3.4.39b) I 1 — при E1E2 = -1, 3.4. Рациональные решения 231
В случае Є1Є2 = 1 мы возьмем
(3.4,40а) +-^klIh,
(3.4.40b) +
и найдем
(3.4.41) F2---і- Jfe1Ji2 (6, + k2) {(х ± і)3 + (х ± t) =F 6/}.
Интересно отметить, что Fo дает другое рациональное ре-
J0) (0)
шение в случае Є[Є2 — —1. В этом случае возьмем е 1 = е 2 = = —1 и, воспользовавшись (3.4.39), получим
