Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.4.18)
'N
' N— N N ¦
п п
Ki I= 1
где
N ( а \ (3.4,19) gN = Yj П Мі-8/^/) П ЄіЄХр( Z
е=±1 / = Z 1 = 1 Vi = I /
Отметим следующие важные свойства функции g:
(і) gN(k і, k2, ...,ki, ..., kj.....kN) =
— Sn (ki, k2, ..., kh ..., k/, ...kN)
при і < j (функция gN антисимметрична по аргументам) (H) gn(ki = °. К •••> M = O;
(iii) gN(kl = k2, k3, ..., kN) = gN(ki = —k2, kз, ...,kN) = 0.
Свойства (і) — (iii) означают, что функция gN имеет в качестве множителя
П(а!-А?)П А,.
Ki 1 = 1 3.4. Рациональные решения 225
Таким образом, первый член разложения функции Fn при ki-*~ 0 по крайней мере порядка 0(1), и
(3.4.20) Ftt = aNQN{x)+0(k).
Ниже мы покажем, что aN Ф 0. Кроме того, так как каждый ki входит в фазовый множитель выражения (3.4.17) с множителем х, то для того, чтобы функция FN имела по крайней мере первый порядок, нужно, чтобы полином (я) = л:р-}- ... имел старшую степень
Теперь мы выведем рекуррентную формулу для ©лг. Мы воспользуемся формулой
(3.4.21) DxFn^-Fn^1=CFnFn,
выведенной в разд. 3.3 из преобразования Бэклунда. Функции Fn-ь Fn+i, Fn и Fn, являющиеся многосолитонными решениями, зависят от параметров следующим образом:
Fn = Fn (ku ..., kN_\, kN),
FN — Fn (fe,.....kN_\, kN+\f,
FN+\ = FN+l(ki, ..., kN_lt kN, kN+x).
Константа С определяется любыми тремя солитонными решениями, заданными формулой (3.4.17). Например, если взять
FQ=U
F — 1 \(k — Ь 1 /уі'+і=)'2 „-(ill+ 12)/24 ,
+ (?, + ?,) (e-(1--1^_e<1.-1^2)],
то C = -1/2.
Далее будем пользоваться формулой суперпозиции
(3.4.22) DxFN+i- Fn^ = ^r FnFn.
Из (3.4.20) и (3.4.22) можно получить рекуррентную формулу для aN и Qn- Подставив (3.4.20) в (3.4.22), получим
(3.4.23) aN+lciN_xDxQN+fiN_-l =-L ^q2n.
8 Зак. 114 226
3. Различные перспективы
Так как OiV (х) является полиномом по х, то соотношение
(3.4.23) можно выполнять для каждой степени по отдельности, и в частности для старшей степени xN(-N+])/2. Поэтому aN удовлетворяет рекуррентному соотношению
(3.4.24) %+1%-і(4ЛҐ + 2) = <4 a Qn удовлетворяет
(3.4.25) Охвя+1в„_, = (2 N + 1)0?
(см. также [32]). В наших предыдущих вычислениях для нескольких первых солитонов мы уже вывели
_, _, _ 1 __1
а0 — і, ?[ — і, а2 — -g-, «з — 36Q >
©0=1, ©і = х, O2 = X3+ 12/, O3 = X6 + 60г5/ - 720/2.
Из рекуррентной формулы следует, что коэффициент ймфО при всех N^0. Можно воспользоваться соотношением (3.4.25) и ©о, ©1 для вычисления ©2, ©з и всех высших Qn, если дополнить его уравнением эволюции по времени. Для этого можно использовать либо исходное нелинейное уравнение в частных производных (в нашем случае уравнение КдФ), либо уравнение временной зависимости (3.3.72Ь), найденное из преобразования Бэклунда (положив при этом А, = (1/4)?дг + 1 и устремив k->0):
(3.4.26) (/), + ^)0^.0^ = 0.
К частному решению ©w+i можно добавить ©лг-ь умноженное на произвольный множитель, но мы берем этот множитель равным нулю. В описанном предельном переходе для каждой фиксированной степени k полином является однородной функцией по (xz) и /. Например, мы знаем, что старшим порядком ©3 является Xе. Таким образом, полином ©3 должен иметь следующий общий вид: X6 + ах3/ + ?/2. Мы определяем коэффициенты а = 60, ? = —720 при помощи (3.4.25), (3.4.26). Хотя, разумеется, можно добавить к O3 член Cx и соотношения (3.4.25), (3.4.26) останутся при этом выполненными, но мы берем C = O, так как этот член не может возникнуть в результате предельного перехода.
Поскольку каждой степени х3 соответствует степень /, то все решения удовлетворяют автомодельному уравнению для w (г), где
1 , ч x
U =--TrrW(Z), Z =-гтг,
/<w\2/3 4 '' /о/ч і/3
(3 tyi* (З/)'
w"' + 6ww' - (2W + zw') = 0. 3.4. Рациональные решения
227
Поэтому автомодельное решение также обладает классом рациональных решений. Итак, мы показали, что рациональные решения возникают в результате предельных переходов в соли-тонных решениях и что их можно вычислить при помощи преобразования Бэклунда, и получили непосредственную связь между солитонами и автомодельными решениями. Частные элементарные решения можно получить и для других уравнений, включая классические трансценденты Пенлеве [149] (обзор), [35], [72]. Эти авторы также вывели преобразования Бэклунда между решениями таких нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (см. также [165]).
Как мы уже отмечали, методы, которым мы пользовались, можно без труда распространить и на другие нелинейные эволюционные уравнения, обладающие солитонными решениями. Здесь мы лишь обсудим результаты, полученные при вычислении предельных переходов в солитонных решениях (і) уравнения К—П (двумерного уравнения КдФ); (ii) уравнения Бусси-неска; (iii) уравнения мКдФ с ненулевыми граничными условиями.
Уравнение К—П имеет вид
где а — постоянная, зависящая от дисперсионных свойств системы. Мы ищем убывающие решения уравнения (3.4.27а) «-»-Опри IX оо следующего вида [445]:
Af-солитонное решение можно вычислить прямым методом (см. разд. 3.3). Здесь мы обсудим только случаи N=I, 2. Одно- и двухсолитонные решения имеют вид
