Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно найти решение (3.2.19) при N = 1. Одно довольно простое решение имеет вид
(3.2.22) N=I, a = — q/2, ? = Y = 6 = 0,
так что (3.2.7) принимает вид
(3.2.23а, b) qx = — ^-q, qt = — і [их — ?.
Читатель без труда узнает в (3.2.23а) преобразование Коула — Хопфа (3.1.2), а (3.1.23Ь) переходит в уравнение теплопроводности после исключения и. Отметим также, что (In q) является потенциалом, соответствующим закону сохранения (3.2.6).
7 Зак. 114 194
3. Различные перспективы
Более сложное решение системы (3.2.19) для N = 1 имеет
вид
а = — <7/2,
? = Ciq2 у* <7> (3.2.24) с
Y = T" ^2'
так что (3.2.7) приводится к виду
U -}- С2 | 9
qx =--5—<7+ с,«?2,
(3.2.25)
1 ( u2 C2 Л С
Qt = — "2 V"* — "2" + ~Г) Q--?~(u — C2)q2-
В частном случае (Ci = 1/2, С2 = 0) соотношения (3.2.25) являются ПБ уравнения (3.2.6) в себя. Таким образом, уравнение Бюргерса имеет ПБ (в себя) и может быть точно решено (при помощи преобразования Коула — Хопфа) (см. упр. 2). Оно имеет решения типа бегущих волн, но не имеет солитонов и обладает (очевидно) только одним полиномиальным законом сохранения, не зависящим от х, t.
В случае (3.2.21) эта процедура не проходит, так как нет нетривиальных решений системы (3.2.21) при N= 1 (см. упр. 4). В общем случае (N Ф 1) полезно воспользоваться некоторыми понятиями из теории алгебр Ли. (Более подробные сведения об алгебрах Ли можно найти, например, в книгах [241] или [441].)
3.2. с. Алгебры Ли. Пусть (иь ..., Vn) —элементы линейного векторного пространства V размерности т ^ п. Векторное пространство можно превратить в алгебру, определив в нем операцию «умножение», которая сопоставляет каждой паре векторов [v\, V2) их произведение (ViV2)^V. Операция умножения должна удовлетворять условиям билинейности
2 26) ^ + v^ Щ ~ U,U3 + U2U3' ^2 + 0^ = V{V2 + (ii) с (U1D2) = (CW1)U2= V1 (CV2)
для любого скаляра с.
Так как пространство имеет конечную размерность т, то эта операция полностью определяется набором т базисных векторов и (т X т) -таблицей умножения этих векторов. Алгебра является алгеброй Jlu, если операция умножения подчиняется так- 3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения
195
же соотношениям
(i) (OiW1) = O, (3 2 27) '
(ii) (^2)^ + (1^3) 01 + (^1)^2==0.
Уравнение (ii) называется тождеством Якоби. Алгебра Ли называется абелевой, если
(3.2.28) V1V2 = O
для любых ui, »2 є У, и неабелевой, если какие-нибудь два элемента из V имеют ненулевое произведение.
Примеры, (1) Решение (3.2.22) системы (3.2.19) является абелевой алгеброй Ли в одномерном векторном пространстве с базисным вектором а.
(2) «Специальная унитарная алгебра Ли» su(2) состоит из всех комплекснозначных (2 X 2)-матриц с нулевым следом1), где «умножение» двух матриц задается их коммутатором
(3.2.29) [А, В] = AB — BA.
Базисными элементами этого векторного пространства служат
_±Г° _±(° -if1 0^
Sjc 2 V4 1 о )• о)' 2^0 -1 )'
и легко проверить, что
Sy]=SZ, [Sy, S2J=Sj;, [Sj, SxJ=Sj,,
так что su (2) является неабелевой. Отметим, что задача рассеяния, рассмотренная в гл. 1 (1.2.7а), имеет вид
V* = Xv, Vt = TV,
где X и T являются элементами su(2).
Какое отношение все это имеет к псевдопотенциалам? По предположению векторы {а, ?, у, 6} из (3.2.19) или (3.2.21) являются элементами некоторого А^-мерного пространства. Нетрудно показать, что билинейная операция [А, В], определенная в (3.2.14), удовлетворяет соотношениям (3.2.26, 27). Таким образом, набор соотношений, подобных (3.2.19, 21), имеет решение, если и только если эти соотношения совместны с некоторой (конечномерной) алгеброй Ли. Еще важнее то, что поставленная задача имеет псевдопотенциал (определенного вида) тогда и только тогда, когда существует соответствующая алгебра Ли.
В настоящее время не решена следующая общая задача: можно ли частично заполненную таблицу умножения продолжить до какой-нибудь конечномерной алгебры Ли? Если это сделать удается, то можно воспользоваться теоремой Адо.
') Кроме этого матрицы должны быть антиэрмитовыми. — Прим. перев.
71 196
3. Различные перспективы
Определения. Представлением абстрактной алгебры Ли называется отождествление каждого элемента алгебры с (N X.N)-матрицей, при котором выполнена таблица умножения. Представление называется точным, если единственный элемент, отождествленный с нулевой матрицей, является нулевым элементом исходного векторного пространства.
Теорема Адо. Каждая конечномерная алгебра Jlu имеет точное конечномерное представление.
Доказательство можно найти в книге Джекобсона [241, с. 202]. Эта теорема означает, что всегда достаточно ограничиться поиском линейных псевдопотенциалов типа (3.2.8) и матричных решений систем соотношений типа (3.2.21). (Это относится к системам уравнений первого порядка по t и конечного порядка по х.)
Системы типа (3.2.21) всегда имеют тривиальные решения (a = P = Y = ^ = O) и почти тривиальное абелево решение
« = у = 0, [р, 8] = 0.
Теперь мы покажем, что любая абелева алгебра Ли соответствует последовательности потенциальных функций, которая в свою очередь соответствует (в лучшем случае) последовательности законов сохранения исходного уравнения. Если дано эволюционное уравнение для и (первого порядка по t и р-го порядка по х), то мы ищем (линейный) псевдопотенциал вида (3.2.8). Произведя вычисления, аналогичные проделанным выше, мы еще больше ограничим псевдопотенциал до вида
