Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 62

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 164 >> Следующая


m m

(3.2.30) Qx = E a;a/q, q, = ? ^aq,

і — і ~

где a/, bj — известные скалярные функции от (и, их, ..., «(р_!>*)', a Oj — постоянные (N X N)-матрицы (элементы алгебры Ли). Система является абелевой, если (3.2.31)

[a/, as] = 0 для всех /, k.

Пусть является простым собственным значением матрицы а. и и — соответствующий собственный вектор, т. е.

Ct1W - A1U.

Если [а1( а2] = 0, то

O1 (a2t>) = Ct2Ct1D = а2 (A1W) = ^1 (a2u);

поэтому вектор a,2V должен быть кратным V, т. е.

Ct2 о = X2v,

и V является собственным вектором матрицы а2. Таким образом, две коммутирующие матрицы имеют общий собственный 3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения

197

вектор. Если (скажем) осі является диагонализуемой матрицей и имеет полный набор собственных векторов, то, как следует из (3.2.31), каждая из а, имеет те же самые собственные векторы. Поэтому существует система координат для q, в которой правая часть (3.2.30) является диагональной и каждая компонента q удовлетворяет двум скалярным уравнениям следующего вида:

т т

' Qx = Ъ «Л<7' Qt=IL bfaq.

і і

Поэтому In q является потенциальной функцией, соответствующей закону сохранения

KZ'-A) + ir (-Z »Л)-о-

Разные компоненты q, отвечающие разным собственным значениям, приводят к разным законам сохранения. Можно показать, что абелева алгебра Ли приводит к законам сохранения даже в том случае, когда матрицы а,- являются недиагонализуемыми (см. упр. 5).

Часто утверждается, что интерес представляют лишь неабе-левы псевдопотенциалы, поскольку абелевы приводят только к законам сохранения. И это правильно, если смотреть на проблему с точки зрения МОЗР, но абелевы псевдопотенциалы не следует полностью игнорировать; из них, например, следует преобразование Коула — Хопфа.

Вернемся теперь к уравнению Фишера (3.2.20). Оно имеет нетривиальный псевдопотенциал вида (3.2.7), если (3.2.21) имеет матричное неабелево решение. Но система (3.2.21) не имеет такого решения (доказательство этого факта довольно громоздко и дано в упр. 7). Поэтому (3.2.20) не имеет ни псевдопотенциалов, ни ПБ, ни линейной задачи рассеяния, зависящей только от и, их, т. е. вида (3.2.7). Однако совершенно неясно, в чем кроется причина неудачи: является ли она следствием внутренней структуры уравнения или же связана с выбором псевдопотенциала в форме (2.2.9). Неизвестен способ обобщить этот метод до такой степени, чтобы полученный из него отрицательный результат гарантировал, что и любой другой метод, обсуждавшийся в этой главе, также должен привести к отрицательному результату.

3.2. d. Более общие задачи. До сих пор мы ограничивались уравнениями с полиномиальными линеаризованными дисперсионными соотношениями. Для уравнений более высокого порядка псевдопотенциальный метод имеет точно такое же начало, но задача не обязательно сводится к чисто алгебраической, и может оказаться недостаточным ограничивать поиск только ли- 198

3. Различные перспективы

нейными псевдопотенциалами. Для иллюстрации рассмотрим уравнение второго порядка

(3.2.32) uxt = f (и),

содержащее в качестве частного случая уравнение sin-Гордон. При различных упрощающих предположениях Краскал [297], Мак-Лафлин и Скотт [371] и Рунд [436] показали, что уравнение (3.2.32) обладает особой структурой (дополнительными законами сохранения, или ПБ) тогда и только тогда, когда

(3.2.33) f" = kf

для некоторого k. Однако Михайлов [374] показал1), что существуют другие функции, для которых уравнение (3.2.32) принадлежат к классу интегрируемых при помощи МОЗР (см. упр. 8 разд. 3.7). Новое уравнение связано с задачей рассеяния для оператора третьего порядка, в то время как уравнения, подчиняющиеся соотношению (3.2.33), связаны с оператором второго порядка.

Попытаемся найти псевдопотенциал для (3.2.32), чтобы выяснить, можно ли обобщить условие (3.2.33). Следуя обычным правилам, рассмотрим

(3.2.34) q* = A (и, их, ut, q), q, = B (и, их, щ, q). Условие интегрируемости (qxt = q;*) приводит к

д\ = о = дВ

dut дих

г» пі і д\ ав . / д\ <?В \ t п [A, 81 + -^--^+(^--^)/ = 0.

В этом месте появляется существенное различие между уравнениями первого (по t) порядка и уравнениями более высокого порядка: независимые переменные и, их, Ut, q не входят в соотношение (3.2.36) явно. Поэтому если случай (3.2.13) удавалось свести к изучению чисто алгебраической задачи (3.2.19), то в случае (3.2.36) такое сведение неизвестно. Решение можно получить, наложив дополнительные ограничения на структуру функций А, В (см., например, [166], [312] или [41]). С учетам этих дополнительных ограничений (3.2.32) имеет псевдопотенциал, если выполнено (3.2.33). Но ответ на общий вопрос пока отсутствует.

3.2. е. Заключение. Перечислим вкратце, что же известно о псевдопотенциалах.

(3.2.35) и

(3.2.36)

» См. примечание на стр. 305. — Прим. перев. 3.3. Прямые методы построения солитонных решений

199

(І) Приведенный здесь метод позволяет найти псевдопотенциалы для некоторых уравнений. Если найден неабелев псевдопотенциал, то обычно из него можно получить ПБ. Если он к тому же линейный и зависит от параметра, то очень вероятно, что его можно использовать для МОЗР.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed