Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
солитонов уравнений мКдФ, Буссинеска и Кадомцева — Петвиа-швили (К—П). Для уравнения мКдФ существуют вещественные несингулярные рациональные решения, что согласуется с результатами работы Оно [409].
В последнем случае (уравнение К—П) имеется частное решение, являющееся вещественной несингулярной функцией, убывающей степенным образом во всех направлениях. Это решение обладает солитонными свойствами. Мы будем называть такой многомерный солитон лампом. Точное солитонное решение впервые получено в работе Манакова и др. [350]. Следует отметить, что приводимые здесь методы применимы и для многомерных задач [447], имеющих физические приложения. Мы начнем с уравнения КдФ
(3.4.1) Ut +Guux+ Uxxx = Q.
Как было показано в разд. 3.3, уравнение (3.4.1) имеет Л7-соли-тонное решение вида
(3.4.2) м = 2 (In Fn)xx,
где функция Fn удовлетворяет уравнению
(3.4.3) Dx(Dt + Dl)FN-FN = 0. Напомним определение оператора D,
(3.4.4) DaxDTa ¦Ь = (дх - д*Т (dt - dt>)m а (х, t) Ъ (х , t) \х,-х
t'=t
(см. также разд. 3.3) и то, что функцию Fn можно найти разложением в (формальный) ряд
(3.4.5) Fn = 1 + е/ДО + B2Ff + ....
Подстановка (3.4.5) в (3.4.3) и приравнивание нулю коэффициентов при степенях є дает систему уравнений на функции
Fp. Это разложение обрывается, если Fn] выбрать в виде
N
(3.4.6) Ity = Z exp (T)i), Tfo = ktx - k\t + T1I01,
і—і
где kl, Tlf1 — произвольные константы (в конце мы положим в = 1). В разд. 3.3 получены солитонные решения для N = 1, 2, 3:
(3.4.7а) F1 = 1 + Л
(3.4.7b) F2=X+е4 + + е% + % +
(3.4.7с) F3 = 1 + еч + ец + + еч + % + д" + еч + лз + л" +
_J_ gTlj+Tb-M» gtl, + ТЪ + 1? + Au + An + Au 222 3. Различные перспективы
При произвольном N имеет место формула
/n n \
(3.4.8а) Fn= ? expl ? AilIiiIil+ ? (XiT)i),
M- = O,1 \/</ < = 1 /
где Ац в (3.4.7) и (3.4.8а) удовлетворяют соотношению
(3.4.8Ь) еХрЛг/ = (4^-)2.
Формулы (3.4.7а—с) являются частными случаями (3.4.8). Кроме того, отметим, что из (3.4.7а) и (3.4.2) получается обычное односолитонное решение, имеющее вид
(3.4.9) и = (-J-) sech24" fax - k\t + rii0)).
К рациональным решениям можно перейти благодаря имеющемуся произволу выбора постоянных т^0'. Например, если в
„(0)
(3.4.9) мы выберем е1 = — 1, то получится сингулярное решение
(3.4.10) и = - (-J-^sh2 -L (kYx - k\t).
Переходя к пределу k\ 0 (т. е. к «длинноволновому» пределу), мы получим
(3.4.11) и =-2/X2.
Решение (3.4.11) является первым представителем класса рациональных решений. Оказывается, что при подходящем выборе фазовых постоянных можно получить нетривиальный предел для любой функции Fn-
Обсудим теперь приемы вычислений функций Fn- с этой целью вернемся к рассмотрению (3.4.7а). Обозначив Oi =
= ехр(т]10>), перепишем (3.4.7а) в виде
(3.4.12) Fx = I+ а{еь, I1 = AsiOс — *?*)-При ki -> 0 имеем
/', = 1+0,(1+6,) + 0(*?). Выбрав ai = —1, получим
Fi =-ki(x+Oikl)). Так как и определяется по формуле (3.4.2), то
F1^zx + Oikl) 3.4. Рациональные решения 223
(здесь, как и прежде, две функции f и g считаются эквивалентными, f — g, тогда и только тогда, когда f = eax+bg, а, b не зависят от х).
В пределе A1-^-O, .F1=ChO1, где
(3.4.13) 0J = х.
Отсюда по формуле (3.4.2) получается рациональное решение (3.4.11). Таким же образом можно преобразовать F2 (и все высшие Fn) ¦
При N > 1 будем считать, что все ki -*- 0 одинаково быстро (т. е. A1- = eki, ki = O(I)). Для F2 получим
(3.4.14) F2= 1 + щеь + а2еь + aia2eh + h + А".
При ki, A2-^O мы потребуем равенства нулю коэффициентов при членах порядка 0(1) и O(A) в F2:
0(1): 1 + a, + Ct2 + OiOaei4" = 0. О (k): AiO1 + A2Ct2 + (A, + A2) Ot1O2Hn = 0. Решением этих уравнений служит
ki -4- k2 « = -«2 = 17^-
Оказывается, что при этом члены разложения порядка О (А2) также отсутствуют, и в результате получается
(3.4.15а) F2 =--^-A1A2 (A1 + A2) [я3 + 12/ + О (А)].
Так как А-»-0, то F2 эквивалентно в2:
(3.4.15b) O2 = JC3+ 12/, и = 2 (Ine8)jex.
Функция 02 имеет три нуля, поэтому и имеет три полюса. В трехсолитонном случае, если мы выберем
ki + k2 k3 + ki
O1
Ct2
kl — kl k3 -kl
k2 + k3 kl + k2
ki — k3 kl — k2
k3 + kl k2 + k3
ki — kl то найдем функцию
(3.4.16a) F3 = - - gb. A1A2A3 (A1 + A2) (A2 + A3) (A3 + A1) [(*6 +
+ 60л:3/ - 720/2) + O (A)], которая в пределе А 0 эквивалентна функции O3 (3.4.16b) O3 = JC6 + 60л:3/- 720/2, 224 3. Различные перспективы
имеющей шесть нулей. В принципе этот прием срабатывает при любом количестве солитонов, но вычисления становятся весьма громоздкими. Поэтому мы воспользуемся преобразованием Бэклунда (в билинейной форме) для вывода рекуррентной формулы, порождающей рациональные решения.
Вначале мы слегка преобразуем формулу yV-солитонного решения (3.4.8а). Напомним формулу (3.3.78) из разд. 3.3:
ехр і
N (Biki — ?jkj)
{ Ё Te^)
(3.4.17) Fn^Fn= ^ ----•
e = ±l Ki VI// Д B.k{
i=l
Так, например,
= J_ (е^ _ е-Ч./2) = _ е-П,/2 (1 _ ^
что эквивалентно (3.4.17). Преимущество формулы (3.4.17) состоит в том, что в пределе k\ ->¦ 0 она непосредственно переходит в полином от х. Эту формулу можно переписать (здесь и далее мы опускаем крышку ~ над Рц) следующим образом:
