Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом мы пришли к одной из нерешенных фундаментальных проблем:
Имеется ли систематический метод, позволяющий для заданного дифференциального уравнения в частных производных найти псевдопотенциал, если он существует, либо сделать заключение о его несуществовании?
Этот вопрос относится к системам с любым числом независимых переменных, но мы ограничимся только двумя.
3.2. Ь. Задачи с полиномиальным дисперсионным соотношением. Наиболее простые результаты относятся к уравнениям первого порядка по t и конечного порядка по х. В этом случае дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения a(k) является полиномом. Ниже мы покажем, что с учетом некоторых3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения
191
ограничений на вид уравнения вопрос о нахождении псевдопотенциала всегда можно свести к некоторому вопросу из теории алгебр Ли. Важным следствием этого сведения, как мы покажем, является следующий факт: если заданное уравнение не имеет линейного псевдопотенциала, то оно не имеет никакого псевдопотенциала.
Метод Уолквиста и Эсгабрука [496, 497] для нахождения псевдопотенциалов также использовался в работах [121], [123] и [264]. Он имеет много общего с существенно более старым методом Клерена (1903) [111], который использовался в работах [311], [312] и других. Для иллюстрации метода мы рассмотрим уравнение Бюргерса
(3.2.6) ut + иих = ихх.
Мы интересуемся всевозможными (локальными) решениями уравнения (3.2.6), так что все и, их, ихх, ... могут быть заданы независимо в некоторой точке, а их производные по t находятся с помощью (3.2.6). Если допускаются комплексные решения, то производные по X от и* также будут независимы. Мы попытаемся найти псевдопотенциал, который зависит от и и его производных, имеющих меньший порядок, чем уравнение. Для (3.2.6) это означает
дх (Я,) = At (и, их, q)\
(3.2.7) . . >> і = 1, . .., N, (<Ji) = Bi (и, их, q) J
где q = (<7i, ..., qN) для некоторого конечного N.
(i) Если N= 1, то q — скалярная функция, и (3.2.7) имеет вид ПБ.
(ii) Если A1 и Bi линейны по q, то
п 9 81 д* M = All4l,
'8) dt(qi) =Bijql,
где Aij (i, Ux) и Bi,-(и, Ux) являются N X N-матрицами (в (3.2.8) подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Если Aij, Вц к тому же содержат свободный параметр (т. е. «спектральный параметр»), то (3.2.8) является кандидатом в задачи рассеяния. Ниже мы увидим, что если существует какой-нибудь псевдопотенциал, то существует линейный псевдопотенциал (с некоторой конечной размерностью).
При фиксированных А, В система (3.2.7) является совместной, если
(3.2.9) (q)x( = (q)ix.
Это основное требование на псевдопотенциал. Важно отметить, что в гл. 1 основные уравнения (1.2.8) были получены из того же требования (интегрируемости (1.2.7)).192 3. Различные перспективы
Для уравнения Бюргерса (3.2.6)
— + (и
ди ^ К ххх ^"Х/Х/ dUx
qXt = (Uxx — UUx) E- + (iUxxx — (UUx)x) -E- + (В • V) А,
(3,2Л0) OB I /д Т7\ R
q tx = Ux-^r+ ихх — +(A-v) в,
*х
где (A-V)= Тл AidJdqi. Так как Uxxx (локально) не зависит от и, Ux, Uxx, то необходимым условием выполнения (3.2.9) является
(3.2.11) = 0.
v ; дих
Поэтому же ДОЛЖНЫ быть равны коэффициенты при Uxx'-
OB , . д\ , .
-д-(и, их, ч) = ж(и, q),
лд
(3.2.12) В (и, их, q) = их {и, q) + С (и, q).
так что
R fti 11 /тЛ — 11 _
ди
Таким образом, (3.2.9) сводится к
(3.2.13) ul+ ихЕ + 1Шх ? + Их[?, А] + [С, А] = 0, где
(3.2.14) [А, В] s (B-V) A -(A-V) В.
Для N = 1
и .«]-«?->•
при этом для линейных псевдопотенциалов [А, В] пропорционален обычному коммутатору матриц:
(3.2.15) [А, В] = (AiiBjk - BiiAik) qk
(доказывается вычислением).
В (3.2.13) зависимость от их теперь является явной. Коэффициент при и2х (т. е. O2Kjdu2) должен быть равным нулю, поэтому
(3.2.16) А = иа (q) + ? (q).
Приравнивая в (3.2.13) нулю коэффициент при их, получим -E С (и, q) -f а (фи + [а, ?] = 0,
и после интегрирования по и
Hl 2
(3.2.17) C = -Ea-и[а, ?j + o (q).3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения
193
Определим
(3.2.18) Y (q) = [а> Р]
и подставим (3.2.16) — (3.2.18) в (3.3.13). Коэффициенты при и2, и и 1 вместе с (3.2.18) дадут
[а. Y] + -JV = O,
(3.2.19) [«' 8I-№> Vl = O,
[S, Р] = 0, [а, Pl-Y = O.
Таким образом, уравнение (3.2.6) имеет псевдопотенциалы вида (3.2.7) тогда и только тогда, когда система (3.2.19) имеет нетривиальное решение. Для эволюционных уравнений первого порядка по времени и конечного порядка по X вопрос о существовании псевдопотенциалов всегда сводится к решению конечного набора соотношений типа (3.2.19). Например, читатель может проверить, что если бы мы начали с уравнения Фишера (1937) 154] (популярная модель динамики популяций; см., например, 235])
(3.2.20) Ut = Uxx + ы — ы2
вместо уравнения (3.2.6), то аналогичные вычисления привели бы к
[а, V] + а = 0,
[а, S] + [р, у] - а = 0, (3.2.21a, Ь, с, d) [5>р]^0і
[a, PJ-Y = O
вместо (3.2.19). Вычисления для уравнения КдФ проводятся по такой же схеме [497].