Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
4) Согласно (1.3.16), если выполнено неравенство
J I EI dx < 0,904,
то нет дискретного спектра, а вместе с ним и самоиндуцированной прозрачности. Каупом [261, 262] обсуждался вопрос об отношении этого результата и знаменитой теоремы площадей Мак-Кола—Хана [370]; см. также [232].
5) Произвольный начальный импульс достаточной напряженности будет распадаться на конечное число 2л- и 0я-импульсов плюс излучение (или «рябь»), которое затухает экспоненциально. Гиббс и Слашер [186] наблюдали этот эффект экспериментально (рис. 4.19). На рисунке слева показаны результаты серии экспериментов, в которых меняются интенсивности начальных импульсов. Как видно из рисунка, в случае (а) происходит поглощение, (в) — трансформация в 2я-импульс, гид — распад на два или три 2я-импульса.
6) Уравнения СИП (4.4.17) вступают в противоречие со многими общими утверждениями, которые представляются справедливыми для задач, решаемых при помощи МОЗР. Конкретно мы должны отметить, что: (і) (4.4.17) не имеет дисперсионного соотношения; (ІІ) за исключением специальных случаев, описываемые процессы являются необратимыми; (iii) существует беско- 4.4. Уравнения типа sin-Гордон
381
нечно много локальных законов сохранения, но (4.4.19) может быть единственным глобальным интегралом движения; (iv) коэффициент прохождения а (?) зависит от времени и поэтому не порождает переменные типа действие — угол. Конечно, все эти утверждения связаны между собой. В частности, все они требуют некоторого неоднородного уширения (g((u) Ф 6 (со — (Oo)). Но даже с учетом этого факта они все равно показывают, насколько
Рис. 4.19. Эволюция оптических импульсов разных интенсивностей в случае, близком к резонансу. Форма входного импульса показана пунктиром, выходного— сплошной линией. Слабый импульс (рис. (а)) поглощается; более сильные (кривые: (в), (г) и (д)) демонстрируют СИП. Соответствующие результаты численного счета приведены справа. (Гиббс и Слашер [186].)
На этом завершается наше обсуждение (1 + 1)-мерной модели без затухания или без вырождения уровней. Как обычно, в случае размерности (3+1) возникает вопрос об устойчивости 2я- и Оя-импульсов по отношению к поперечным возмущениям. Кодама и Абловиц [І282, 283] показали, что оба эти импульса неустойчивы. Поперечную неустойчивость наблюдали экспериментально Мак-Кол и Хан (1969) [360], которые называли этот эффект «обдиранием импульса»; см. также [354]. Однако Слашер и Гиббс [465] сообщали, что входную и выходную апертуры аттенюатора можно с успехом использовать на практике для контроля неустойчивости.
Проблема вырождения уровней, по-видимому, более серьезна. В большинстве аттенюаторов для подходящих переходов наблюдается вырождение одного или другого уровня. В работе Лэ- 382
4. Приложение
ма [309] дано обширное обсуждение данной проблемы. Для нашей цели важно отметить, что для простейшего случая вырождения уровней В пределе узкой ЛИНИИ (g((o)=O(cu— (Oo)) уравнение (4.4.20) следует заменить на ')
(4.4.28) Qxt = sin 0 + I sin 20.
Нетрудно показать, что автомодельное решение этого уравнения не обладает свойством Пенлеве и, по-видимому, (4.4.28) не может быть решено при помощи МОЗР. Додд, Буллор и Дакворт (1975) [139] пришли к такому же выводу, основываясь на том, что для (4.4.28) не существует преобразований Бэклунда определенного типа. Численные эксперименты Абловица, Краскала и Ладика [15] подтвердили, что две уединенные волны, являющиеся решениями уравнения (4.4.28), взаимодействуя, при 0< <Х< OO генерируют излучение, которое при некоторых условиях может быть очень мало. Саламо, Гиббс и Черчиль [439], основываясь на своих экспериментах в парах натрия, отметили, что излучение является слабым. Буллоу и Кодри [78] также отметили слабый характер излучения, наблюдавшийся в численных экспериментах. По-видимому, (4.4.28) и его обобщения на случай неоднородного уширения хорошо аппроксимируются точно решаемыми моделями. Для практических приложений этого может оказаться достаточным. Однако нет оснований ожидать, что эти задачи адекватны самоиндуцированной прозрачности в общем смысле или что они могут быть точно решены при помощи МОЗР.
4.4. с. Общая теория относительности. Одной из наиболее впечатляющих возможностей МОЗР является то, что он способен дать новый класс нетривиальных решений уравнений Эйнштейна общей теории относительности. Существенные результаты в этом направлении были получены Мейзоном [342], Белинским и Захаровым [51], Харрисоном [199]; см. также работы Мейзона [343] и Ногебауэра [395]. Ввиду того что эти результаты являются предварительными, мы охарактеризуем лишь основные моменты. По всей видимости, наше обсуждение вскоре устареет.
В четырехмерном пространстве — времени как Мейзон [342], так и Белинский с Захаровым [51] использовали обозначения, в которых метрика имеет вид
— ds2 = gij dxl dx1, где gn обладает сигнатурой (—|—Ь + ). Мейзон изучал, модель
') На самом деле вырожденность уровней приводит к необходимости ,учитывать обе поляризации. Оказывается, что соответствующая модель является интегрируемой с помощью МОЗР (см. [1*]). — Прим. перее. 4.4. Уравнения типа sin-Гордон 383
