Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
стационарно вращающейся звезды (зависимость от угла отсутствовала), поэтому он предположил, что
(4,4.29а) ds2 = Iij dx' dx1 - h (dz2 + dr2), і, /=1, 2,
где Xij и h зависят только от (z, г) и det X < 0. Белинский и Захаров интересовались космологическими вопросами и предполагали
(4.4.29b) ds2 = Xij dx1 dx1 - h (dz2 + dt2), і, / = 1, 2.
Однако эти предположения трансформируются одно в другое при помощи сложной замены переменных, и способы дальнейшего анализа аналогичны. В обоих случаях определим
(4.4.30) T2 = - det Я, > 0.
Уравнения Эйнштейна в пустоте означают равенство нулю тензора Риччи
(4.4.31) Ri1 = O.
Для (4.4.29а) каждая компонента (4.4.31) равнозначна 2X2-матричному уравнению
(4.4.32) <Эг/(тЛ-ад = 0,
где і = 3,4 и X3 = z, X4 = г. Опустим уравнение для h, которое содержится в (4.4.31), так как оно может быть проинтегрировано в квадратурах, если известно X. Мейзон ввел новые координаты
(4.4.33) l = z + ir, Г = z-ir,
и заметил, что след (4.4.32) стал равным нулю:
(4.4.34) тй. = 0.
Уравнение (4.4.34) интегрируется тривиально. Вплоть до настоящего момента между работами Мейзона и Белинского и Захарова существенных различий не было. Далее возникают расхождения.
Мейзон определил новые переменные, а (вещественное) и Л (комплексное), и показал, что (4.4.32) можно представить в виде (4.4.34) плюс
2Ai* + т- !Т|A* COS а — Т- "Т|*Л = 0,
(4.4.35) 2Al + T-1T^Л cos а + т~ Ч|А* = 0,
ац*+ 1 Л I2 Sina-RejT-1T5 ) Sina^ = O.
Это и есть уравнения, которые следует решать. Их можно рассматривать как обобщение (евклидова) уравнения sin-Гордон, к которому они сводятся, если т = Л = 1. 384
4. Приложение
Затем Мейзон сформулировал задачу рассеяния и показал, что условие ее разрешимости совпадает с (4.4.35). Это является центральным моментом при решении уравнений методом обратной задачи. Более того, если т = А = 1, задача рассеяния сводится к евклидовой версии (1.2.7)—обычного уравнения sin-Гордон.
Данная задача рассеяния относится к задачам эллиптического типа, а не гиперболического, что препятствует применению к уравнениям (4.4.35) стандартного формализма МОЗР. Несмотря на это, как обсуждалось в разд. 3.1, ее можно рассматривать с точки зрения преобразований Бэклунда. Действительно, такой подход для уравнений Эрнста, которые по существу эквивалентны (4.4.32), привел Харрисона [199] к преобразованиям Бэклунда.
Далее сравним эти результаты с результатами Белинского и Захарова [51]. Они тоже сформулировали задачу рассеяния, условия разрешимости которой соответствуют (4.4.35). Однако их задача рассеяния по виду значительно отличается от поставленной Мейзоном. В действительности она, по-видимому, представляет собой новый тип задач рассеяния хотя бы потому, что содержит дифференцирование по спектральному параметру. Она была использована для построения точных одно- и двухсолитон-ных решений приведением к задаче Римана — Гильберта. Захаровым и Белинским было отмечено, что стационарное решение Keppa путем комплексной замены переменных может быть получено из солитонных решений.
4.5. Квантовая теория поля. Забужский и Краскал (1965) [523] первыми употребили слово «солитон» для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы. В настоящее время солитоны являются строго определенным математическим объектом, поэтому можно провести обратное сравнение. Здесь мы рассмотрим некоторые из работ, чтобы выяснить, в какой мере физические частицы могут быть описаны при помощи солитонов. Эта проблема была в центре внимания многих недавних исследований в квантовой теории поля. Краткое описание, приведенное ниже, главным образом дает возможность ориентироваться в литературе.
Квантовая теория поля по ряду аспектов отличается от других обсуждавшихся приложений. Одно из отличий состоит втом, что во многих случаях уравнения, допускающие солитонные решения (sin-Гордон, нелинейное уравнение Шрёдингера и т. д.), не являются аппроксимацией более обширного набора основных уравнений. Скорее сами солитонные уравнения выбраны как модели основных уравнений. Более того, во многих аспектах квантовой теории поля не существует «основных уравнений», а су- 4.5. Квантовая теория поля
385
ществуют лишь принципы симметрии (такие, как галилеева или лоренцева инвариантность), и любые динамические модели, удовлетворяющие этим принципам, считаются приемлемыми. Поэтому к вопросу квантования нелинейных моделей Шрёдингера
(4.5.1а) г'ф< = — ф** — а|ф|2<р
и sin-Гордон
(4.5.lb) ихх — Utt = т2 sin«
был проявлен большой интерес.
Модель (4.5.1а) представляет собой простейшую (нетривиальную) бесконечномерную гамильтонову систему, которая является вполне интегрируемой, в то время как (4.5.1b) —простейшая вполне интегрируемая, нелинейная и релятивистски-инвариантная гамильтонова система.
Как обычно, решенные уравнения являются (1 + 1)-мерными. Квантовые результаты для размерности 1 -+- 1 имеют физический смысл в некоторых разделах физики твердого тела, но не в физике высоких энергий. Модели элементарных частиц, имеющие физический смысл, являются (3 + 1)-мерными. Таким образом, большинство результатов, полученных квантованием уравнений, подобных (4.5.1), следует рассматривать как подсказку того, что может быть в случае большей размерности.
