Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично всем обсуждавшимся выше динамическим моделям уравнения СИП возникают в пределе слабых полей. В данном случае потребуем, чтобы
Таким образом, мы предположили, что электрическое поле представляет собой слабую поперечную волну с частотой соо, движущуюся в направлении х, амплитуда которой является медлен-4.4. Уравнения типа sin-Гордон 377
но меняющейся величиной. Для размерности (1 + 1) имеем
(4.4.13а) E ~ -р- [б] {Е (%, т) е» + ?V<e} + 6?,],
где
0 = koX — COu/, % = ok0x, т = бш0/.
Здесь мы рассматриваем линейно поляризованное поле; случай круговой поляризации отличается незначительно. В соответствии с (4.4.7, 8, 10) рассмотрим:
(4.4.13Ь) со = co0 (1+26«),
(4.4.13с) rj ~ 11о(х, т; а) + бт]!,
(4.4.13d) р ~ Y j {р (х, т; а) + р Vе+«'«/2} + /гбр,
(4.4.13е) Р = б2^<р>.
Таким образом, в главном порядке из уравнения (4.4.7) следует соотношение
(4.4.14) k\ = -
ш I
так что волновое число несущей волны определяется свойствами основной среды при отсутствии резонансных атомов. Условие подавления секулярных членов, которые могли бы появиться в следующем порядке (в члене j - El), имеет вид
(4-4-15) %+ VL = (P).
Аналогичное устранение секулярных членов в (4,4.8) приводит к уравнениям
(4.4.16а) дтр + 2iap = Ei],
(4.4.16b) д,ц = -j(Ep'+E'p).
В характеристических переменных
% = 1, T = т — х
мы получаем уравнения СИП в том виде, в котором они приведены у Лэма [310]:
?х = <Р>>
(4.4.17) рт + 2іар = Ец,
Чт = — T (Ер* + Е'р).378 4. Приложение
Соответствующие начально-граничные условия таковы: для всех х>0 имеем E-*- 0 при T-*¦ ztoo, р0, Tj-»-0 при T^*-->—оо; кроме того, задается ?^=0, Г), достаточно быстро стремящаяся к нулю при T-*- ±оо. Различные аспекты этих уравнений были рассмотрены в работе Элбека, Гиббона и Буллоу [147].
Уравнение sin-Гордон является частным случаем (4.4.17) и возникает в пределе бесконечно узкой линии, когда не учитывается неоднородное уширение. В этом пределе
g (со) = 6 (со — ©о) и уравнения (4.4.17) принимают вид Ех = р,
(4.4.18) Pt = Ец, Пт=-±(Ер* + Etp).
Из двух последних уравнений следует соотношение
(4.4.19) Tf + Ipp= 1,
которое наводит на мысль о параметризации следующего вида; (4.4.20а) Tj = cos 0, р = exp (nf>) sin 0.
Тогда если в начале ? обладала постоянной фазой, то
(4.4.20Ь) гр = const, E = exp (й|>) dfl и
(4.4.21) Ox7- = sin0.
Ввиду того что и (4.4.21), и (4.4.17) могут быть решены при помощи МОЗР, нет причин ограничиваться исследованием (4.4.21).
Следуя важной работе Лэма [310], Абловиц, Кауп и Ньюэлл [9] рассмотрели задачу рассеяния
dTV\ + = \ Ev2, (4.4.22а) j
dTv2 — itp2 = — Y EtVl
вместе с «временной» зависимостью
CLo1 = Av{ + Bv2, (4.4.22b) ,* „ .
4 ' oxv2 = Cvl-Av2.4.4. Уравнения типа sin-Гордон 379
Из условий интегрируемости (4.4.22) вытекают уравнения АТ = \{ЕС + Е*В),
(4.4.23) Bt-\-2ilB = ^Ex- AE, CT-2ilC = -LE'%-AE\
которые соответствуют (1.2.8). Сравнивая - эти уравнения с (4.4.17), они нашли, что решения (4.4.23) имеют вид
A1j
(4.4.24) -о»
В
Следовательно, (4.4.17) могут быть решены при помощи МОЗР, хотя для этого требуется некоторое обобщение метода. Различные аспекты решения этой задачи детально обсуждались в работах [310], [9] и [261]. Здесь мы рассмотрим несколько основных моментов.
1) В литературе солитон часто называют «2я-импульсом». Огибающая электрического поля для изолированного солитона определяется формулой
(4.4.25а) E {%, Т) = 4?t ехр (— /ср) sech г|з,
где ? = + it,i является собственным значением, соответствующим этому солитону,
(4.'4.25Ь) Ч> = Од-%Г + Фо,
(4.4.25с) ф = Од-2^Г + ф0
и
«.ми»
— OO
Для симметричной относительно шо функции g(a>) в случае когда = 0, формула (4.4.25а) сводится к солитону, который впервые был найден Мак-Колом и Ханом (1967) [359]. Скорость распространения 2я-импульса равна
(4.4.26) 0==c(i+.gL)"1.
Следовательно, импульс движется со скоростью, меньшей скорости света в основной среде. Запаздывание импульса при движе-380
4. Приложение
нии в аттенюаторе дает принципиальную возможность экспериментального обнаружения (Патель [416]).
2) Аналогом бризера является «Оя-импульс». Огибающая электрического поля в этом случае имеет вид
(4.4.27) E = SUi ,
gr ch ф sin ф + Si sh ф cos ф
?2 Ch2 ф + I2i COS2 ф
где ф определены формулами (4.4.25). Такие решения имеют особый практический интерес, поскольку соответствующие решения существуют и при наличии вырождения уровней (см. [309], [269]).
3) В разд. П.2 в деталях показано, что линеаризованный вариант уравнения не имеет дисперсионного соотношения, и возникает затухание типа затухания Ландау. Соответственно решения уравнений (4.4.17), относящиеся к непрерывному спектру, убывают не по степенному закону, как описано в разд. 1.7, а как затухание Ландау экспоненциально. Как показано в [9], скорость затухания пропорциональна g(<a0 [1 + ба]). Таким образом, все моды затухают экспоненциально в том и только том случае, когда g(co)>0. Скорость затухания в законе Бэра обычно содержит коэффициент g(ft>o).