Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы начнем с физического описания самоиндуцированной прозрачности. В простейшем случае СИП диэлектрик состоит из двухуровневых атомов, каждый из которых имеет основное и возбужденное состояния. Предположим, что эти два состояния не имеют вырождения по моменту. Далее, пусть вначале атомы находятся в основном состоянии, т. е. среда является аттенюатором, а не усилителем. Падающее электрическое поле, настроенное на резонансную частоту, возбуждает атомы. Такой перенос энергии от электрического поля к веществу обычно необратим и в конце концов истощает энергетический запас электрического импульса. Скорость поглощения энергии веществом определяется законом Бэра (1852) [50].
СИП возникает, когда достаточно мощный и очень короткий падающий импульс формируется во времени так, что фронт импульса отдает энергию (когерентно) в среду, которая запасает ее, а затем возвращает ее (когерентно) назад в импульс. Взаимодействуя с таким импульсом, атомы вещества остаются в своем основном состоянии, суммарный перенос энергии от излучения к веществу равен нулю, а импульс распространяется с постоянной (меньшей чем скорость света) скоростью сквозь среду, которая становится как бы прозрачной. Это и есть самоиндуцированная прозрачность.
Теперь мы рассмотрим основные уравнения (уравнения Максвелла— Блоха). Уравнение Максвелла для идеального диэлектрика имеет вид
(4.4.7)
с~2<Э?Е + д?Р + VXvXE = O. 4.4. Уравнения типа sin-Гордон
375
В этом уравнении P обозначает полную поляризацию, обусловленную полной совокупностью как резонансных, так и нерезонансных диполей. (Например, эксперимент Мак-Колла и Хана был проведен в рубине, в котором резонировали ионы Cr+3, составляющие лишь очень небольшую часть от общего числа атомов. «Основная среда» Al2O3 являлась нерезонансной. Для дальнейшего обсуждения будет удобно предположить, что P соответствует поляризации, обусловленной резонансными или околорезонансными диполями. Такая интерпретация допустима в том случае, если мы обозначим через с фазовую скорость света в среде без резонансных или околорезонансных атомов. Следовательно, для рубина с обозначает фазовую скорость света в Al2O3 и P соответствует поляризации, обусловленной только ионами Cr+3.
В задаче о СИП предполагается, что резонансные диполи распределены так редко, что они, взаимодействуя с внешним полем, не взаимодействуют друг с другом. При таких условиях предположим, что р(х, t\ со) соответствует поляризации индивидуального двухуровневого атома с частотой перехода со и fj(x, t, со) соответствует относительной разности заселенностей между возбужденным и основным состояниями. Таким образом, ^ 1; rj — — 1, если все диполи с частотой со находятся в основном
состоянии (по предположению это имеет место при t-*--оо).
Лэм (1971) [309] из квантовомеханических соображений показал, что р, т) и E удовлетворяют уравнениям типа Блоха
(4.4.8а) <32р + CO2p = _ _ Efj,
(4.4.8b) d,fj = (^) E • dtp,
где Л — постоянная Планка, р — элемент дипольной матрицы для данного перехода,
P = 0{qf),
где q — заряд электрона, г — средний радиус атома. В задаче размерности (1+1) из формулы (4.4.8а) следует исключить множитель 1/3. Заметим, что если мы пренебрежем правой частью уравнения (4.4.8Ь), то (4.4.8а) эквивалентно линеаризованному уравнению (4.2.6).
В уравнения (4.4.8) также могут быть включены члены, учитывающие различные медленные релаксации и потери (см., например, [465]). Мы не будем принимать во внимание эти эффекты, но следует учесть, что наша модель будет несостоятельна в том случае, когда индивидуальные диполи остаются возбужденными в течение времени, сравнимого с характерными временами 376
4. Приложение
релаксации: для паров Rb наименьшее из этих времен примерно равно 3-Ю-8 с [465]. Говорят, что среда неоднородно уширена, если частоты переходов резонансных диполей не равны друг другу и сосредоточены вблизи резонансной частоты. Такое уши-рение спектральной линии обусловлено доплеровским сдвигом частоты в газах и статическими магнитными или электрическими полями в твердых телах (Мак-Колл и Хан [360]). В любом случае мы потребуем
(4.4.9) I со-CO01< со0.
Далее, если в единице объема находится ^0(= const) резонансных диполей, то полная поляризация равна
OO
(4.4.10) P = Nn J р (х, /, со) g (со) с/со г N0 <р),
— OO
где g(co)—нормированная на единицу плотность вероятности, характеризующая неоднородное уширение:
^ gflfco== 1.
Уравнения (4.4.7, 8, 10) известны как уравнения Максвелла — Блоха, не учитывающие потерь.
Существенным моментом в теории СИП является то, что резонансные диполи настолько разрежены, что их полная поляризация мала, т. е.
(4.4.11) І?Г2<3?Е|»|д?Р|.
Поэтому в уравнении (4.4.7) можно пренебречь рассеянием назад. Элбек (1972) [145] показал, что в качестве меры разреженности можно выбрать величину
NofIC2
(4.4.12) б2 = ^-«1,
которую можно интерпретировать как отношение энергий. Для того чтобы из уравнений Максвелла — Блоха получить уравнения СИП, необходимо потребовать малость параметра б.
