Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Как обсуждалось в разд. 1.6, большинство уравнений, решаемых при помощи МОЗР, могут быть рассмотрены как бесконечномерные вполне интегрируемые гамильтоновы системы. Этот подход к классическим (т. е. не квантовым) уравнениям совершенно естественно использовать в целях квантования. Гамильтонианы уравнений (4.5.1а, Ь) имеют вид (NLS — нелинейное уравнение Шрёдингера, SG — sin-Гордон)
OO
(4.5.2а) hNls = -1 J { ФА — -J- Ф*Ф*ФФ } dx,
— OO
OO
(4.5.2b) Hsa= J {\(u\ + p2) + m2{\-cosu)}dx
— OO
соответственно. Сопряженными переменными в этих двух случаях являются (ф, ф*) и (и,р). Уравнения Гамильтона и скобки Пуассона были определены формулами (1.6.22) и (1.6.29) соответственно. Следует заметить, что уравнения Гамильтона можно записать при помощи скобок Пуассона в следующем виде:
(4.5.3) q = — (Я, q), pt = ~ (Я, р>.
13 Зак. 114386
4. Приложение
Что означает проквантовать эти уравнения? Во-первых, что существует гильбертово пространство Ж, а сопряженные переменные классической теории теперь интерпретируются как операторы, действующие в Ж. Во-вторых, скобки Пуассона заменяются на «коммутационные соотношения»
(4.5.4а) [ф (х, t), ф* (у, /)] = б (х — у),
(4.5.4Ь) [р(х, t), и (у, f)]=&(x-y)
соответственно, где Л = 1 и
[a, b] = ab — ba.
Более точно, (4.5.4) означает, что для любых двух элементов из Ж, обозначенных а, ?,
(а, [р, q] ?) = (а, 6(x-!/)?),
где (•, •) —скалярное произведение в Ж. Таким образом можно интерпретировать все операторные уравнения. В-третьих, динамические уравнения, которые теперь определяют эволюцию операторов, имеют вид
(4.5.5) Pt = -IH, р], qt = -[H,q), а не (4.5.3).
В данной процедуре есть некоторые тонкие моменты. Один из них заключается в явном определении Ж, таком, чтобы все величины в теории имели бы смысл. Эту проблему иногда считают надуманной, однако результаты Оксфорда [415] о том, что в квантовой версии присутствует лишь малая часть.из бесконечного ряда интегралов движения уравнения (4.5.1а), наводит на мысль, что к ней следует отнестись со всей серьезностью.
Другой тонкий вопрос относится к упорядочиванию операторов в квантовой задаче. Тэкер и Уилкинсон [481] использовали (4.5.2а) в качестве квантового гамильтониана, соответствующего (4.5.1а), в то время как Kayn [257] использовал
(4.5.6) H = — і J {(ф^ — -у ффф'ф } dx.
Они эквивалентны в классической, но не в квантовой задаче, потому ЧТО Ф И ф* теперь уже не коммутируют. Действительно, окончательные результаты отличаются; по-видимому, это вызвано различиями в упорядочивании операторов.
Такие расхождения свидетельствуют о том, что полное решение квантовой задачи не является очевидным, даже когда классическая задача хорошо понята. Исторически квантование вполне интегрируемых систем осуществлялось поэтапно, с простейших моделей ко все более сложным. Первым шагом (т. е. низшим уровнем аппроксимации) является квазиклассическое4.5. Квантовая теория поля
387
приближение. Для нелинейного уравнения Шрёдингера это сводится к преобразованию классической задачи к переменным действие— угол (см. разд. 1.6) и квантованию этих переменных [257], [304]. Как отмечалось во второй из этих работ, не существует гарантии, что преобразование с последующим квантованием даст тот же результат, что и квантование с последующим преобразованием. Однако результаты, полученные посредством квазиклассического квантования, эквивалентны (с точностью до упорядочивания) результатам, полученным с использованием ан-затца Бете [63] для решения полностью квантованной задачи, как это сделано Либом и Ленингером (1963) [327], Березиным, Похилем, Финкельбергом (1964) [61] и Мак-Тиром (1964) [366]. Другими словами, в этом случае квазиклассическая аппроксимация дала результаты, которые оказались точными. В этой связи интересны также результаты Тэкера [480] и Оксфорда [415].
Для уравнения sin-Гордон квазиклассическое (или полуклассическое) квантование несколько сложнее. Дашен, Хасслахер и Невё [128], а также Корепин и Фаддеев [290] развили остроумные методы, в основу которых положено вычисление квантовых поправок к точному решению классической задачи. Следует подчеркнуть, что эти результаты не основываются на обычной теории возмущений, которая примерно соответствует (в классической задаче) разложению по малой амплитуде. Дашен с соавторами применили свои методы также для исследования других моделей, включая модель Гросса — Невё.
Следующим уровнем уточнения должно быть развитие полностью квантовой версии МОЗР, вполне аналогичной рассмотренной в гл. 1, но такой, в которой все функции (потенциалы, собственные функции, данные рассеяния) заменяются операторами. После того как будет реализована данная программа, классическая задача будег использоваться только как вспомогательное средство. Все переменные будут квантовомеханически-ми. Последние результаты по некоторым квантовым моделям в этой области опубликовали Склянин и Фаддеев (1978) [464], Склянин (1979) [463], Тэкер и Унлкинсон (1979) [481], Бергк-ноф и Тэкер (1979) [62], Хонеркамп, Вебер и Вейслер (1981) [233] и Тахтаджян (1981) [472]. Некоторые из этих работ существенно опираются на важные результаты Бакстера (1972) [49]. Сейчас стало ясно, что полностью квантовая версия прямой задачи рассеяния имеет место для некоторых квантовых моделей, включая (4.5.2). Обратная задача рассеяния до сих пор не проквантована.