Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
J^hLj^lL (17)
ду2 дх2 дхду'
Это уравнение, выражающее условие сплошности материала, называется уравнением совместности или уравнением неразрывности деформаций.
На основании закона Гука деформации в уравнении (17) могут быть выражены через напряжения1. В случае плоского напряженного состояния (сгг=0) обобщенный закон Гука, известный читателю из курса сопротивления материалов, имеет вид:
r(<V
(Py
Xy
- I**,)',
— [XCTx); 2(1+11)
G
-Xy ¦
(IS)
Подставляя эти выражения для деформаций в уравнение (17), Долучаєм:
д* стх д*а д*ах дНх
-?--U -*--]---—Li-= 2(1'+Li)--.
ду2 г ду3 дх* . дх2 v дх ду
(19)
Исключим из уравнения Xxyt используя уравнения равновесия (12а), (13а). Для этого уравнение равновесия (12а) продифференцируем по х, а (13а) по у; \
дх2 дхду дх '
д2Оу дН
, dX +
ду* ^ дхду ' ду Сложив эти уравнения, получим:
2дн*у (д2ол | ачг дх ду I дхг ду'
-0.
у . дХ dY
—I---1--
дх ду
1 Способ решения задач теории упругости, при котором во всех уравнениях перемещения и деформации выражаются через напряжения, называется решением в напряжениях.
Возможен и другой способ — решение в перемещениях. В этом случае во всех уравнениях напряжения и деформации выражаются через перемещения. Проводя аналогию с расчетом статически неопределимых стержневых систем, можно сказать, что первый способ соответствует методу сил, а второй — методу перемещений. В настоящей работе приводится решение плоской задачи только в напряжениях.
2 Заказ № 318
17 dHxv
Подставляя вместо 2—- его значение в уравнение (19), находим» дхду .
что
д*ах , д*ах . . д^а
/ах аг
дх2 <?уа Эа-2 ду2 V rMa* dj/
или
Если проекции объемных сил X и Y не зависят о,т координат (например, если объемной силой является собственный' вес) и, еле-
ах ду Л / , - .
довательно, —=—= 0, то уравнение неразрывности деформации» дхду
выраженное в напряжениях, будет иметь вид:
Для краткости записи обозначим
аа , а2 2
--1--=V.
дх2 ay v
Тогда уравнение (21) можно записать так1:
V>*+ffy)=0, (22)-
где у2 — так называемый оператор Лапласа второго порядка. Он показывает, что следует взять вторые производные от рх+ау отдельно по л, у и их сложить. . *
Если объемной силой является только собственный вес, для решения плоской задачи получаем три уравнения:
да у. д%г,,
-JL+ -JX=0;
дх ду дудх
Эти уравнения можно привести к одному при помощи функции Ф(х, у), называемой функцией напряжений2.
1 Уравнение (21) получено нами для случая плоского напряженного состояния. Оно справедливо и для случая плоской деформации, если проекции объемных сил X и У не зависят от осей координат.
2 Функцию напряжений часто называют функцией Эри по имени английского астронома, предложившего ее в 1862 году.
18 Уравнения равновесия (126) и (136) будут удовлетворены при условиях:
_д2ф _д2ф _ даср'
CTu = —з-у дх2
дхду
+ рх.
(23)
Уравнение совместности, выраженное через функцию напряжений после подстановки в него значений ах о , будет иметь вид:
или
д4ф ) о а*ф
дх* дх2 ду2 ду*
V2V2 (Ф) = 0.
= 0
(24)
(25)
Таким образом, решение плоской задачи в том случае, когда объемной силой является вес тела, сводится к подбору такой функции <р, которая удовлетворяла бы уравнению (25) и условиям на контуре.
§ 6. Условия на контуре
Уравнения равновесия (12а), (126), (13а), s (136) связывают между собой напряжения по площадкам, параллельным осям х и у. У поверхности пластинки при произвольном ее очертании нельзя
і і
выделить элемент в форме прямоугольника. Здесь будут получаться треугольники бесконечно малых размеров (рис. 17, а). Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, выделенной около точки А контура пластинки вертикальным и горизонтальным сечениями.
Как и ранее, толщину пластинки будем считать равной единице. Напряжения, действующие по граням призмы, показаны на рис. 17,6, причем через X и Y обозначены горизонтальная и вертикальная составляющие поверхностной силы, приложенной в точке А. Если площадь наклонной грани ас призмы принять за единицу, то площадь грани ab будет sin а, а грани be — cos а, где а — угол, со-
2*
19 ставляемый наклонной гранью с осью х. Уравнения равновесия призмы:
2 X = O Ox sin a+ Txy cos a=X. (26)
2К=0 OyCOs а+Txy Sina=T. (27)
Эти уравнения представляют собою условия на контуре, связывающие внешнюю нагрузку с напряжениями.
Поскольку уравнение неразрывности деформаций выражено через функцию напряжений, 'условия ,на контуре целесообразно также представить через функцию напряжений. "Ограничимся рассмотрением случая, когда объемных сил нет. Возьмем'точку A0 на контуре пластинки и будем отсчитывать от нее длину дуги контура s (рис. 18).
За положительное направление обхода контура примем такое» при котором пластинка остается слева. Принимая во внимание,, что /
a =-^ ст =^ » т = д2(Р
х ду2' у 0л-2' dx ду
И " -
dy dx
ф Sina=-, Cosa=--,
ds ds
условия на контуре (26), (27) можно записать в виде:.
