Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Sy1-у2=ЗЛ; —y1 + 2yi — y3=2A; —у2 + 2у3=Л,
где
Рис. 4.
64 EI
Решая эту систему уравнений, находим:
ух ' 384 El 384 El /3 384 EI
Угол поворота опорного сечения согласно формуле (2а):
Уі—У-і_2(Уі—У-і)
Фо=)'1
2h
I
(7)
Для определения у_2 учитываем, что при *=0 Mx= 1. Используя
уравнения (6) и (3), получаем:
У-г—— Уі +
P
16 EI Подставляя это выражение в уравнение (7), будем иметь:
16Е/ / I
у1 =(2у1 н--—V —=(2--• —¦
7 V 71 IQEl )1 \ 384 El
132 /
1 /
384 El 2,91 El
Если воспользоваться более точной формулой для первой производной (см. формулу (8) приложения 1), то угол поворота опорного сечения:
1 1 4 /ло П1 гуп п, , ,П ,ГЧ I* I
У1 =-
-(48-21 —36-24+16-15) —— 12 / 384?/
3 El
Л
что совпадает с точным решением. і
Пример 3. ,Определить критическую нагрузку для стойки, изображенной на рис. 5. Жесткость стойки — El. Разобьем высоту і стойки на четыре одинаковых участка, т." е. примем и I
• шаг сетки п——.
4
Изгибающий момент в произвольном сечении стойки при потере устойчивости Mx=Py. Уравнение изогнутой оси стойки (6) примет вид:
У"+^-у=0. % (8)
Используя выражение (3) для второй производной, запишем это уравнение для точек 1 и 2. ф
Точка 1
У0~2уг+уг _Р_ р ft2 El
//?1 Рис. 5.
Точка 2
h* El
I
Pl2
Принимая во внимание, что A=—, Vn=O и обозначая т=-
ґ 4 16?/
находим:
(т. — 2)Уг+Уъ=0; їуг + іт — 2)уа=0.
Полученная система однородных уравнений может иметь два решения.
1. Уі=Уа=0. Это решение не отвечает физическому смыслу задачи, так как в момент потери устойчивости уг и уа не равны нулю.
2. Определитель системы уравнений равен нулю. Это и будет уравнение устойчивости:
(т — 2)-1 2-(т — 2)
=0. Раскрывая определитель, получаем:
/п1 — An + 2=0,
отсюда: Тогда
Pkp=m
Точное значение
т=2±VT;
16 El
т
min"
=0,59.
0,59- = 9,44 —.
It P
§ 3. Уточнение решения методом сеток
Если нам известно значение искомой функции в какой-нибудь точке k сетки при двух различных шагах h (рис. 6): A1=-— V«.
Пл
и A2=---угде п — количе-
п2
ство участков в интервале I, то можно значительно улучшить точность вычисления искомой функции yk в данной точке.
Остаточный член разложения Тейлора имеет вид (26)
У
__¦—I
і --
I і
? I I 1, і I h J J
I " lI" " I • X
Л/
I
Рис. 6.
= C1A2Vc2A4+
Ук 6 k 120
=C1 4+C5 пх
/2
+
(9)
Коэффициенты C1, C2 для одной и той же точки k будут постоянными величинами при различных шагах А.
Если величины A1 и A2 малы и, следовательно, можно ограничиться только первым членом формулы (9), то значение 4>yHKU™ Vk при шаге A1 и A2 соответственно будет:
У^У^ + СІ-^;
У H=Vkh, +Сі—• п\
1 Остаточный член выражается через четные степени А, если приближенная
формула имеет симметричный вид. Для несимметричных формул выражение (9) будет содержать нечетные степени hi
8 Исключая из этих уравнений C1P, получаем:
Vh=Vkhl-
'Vkht-
tl(. — П0
или где
Vk=aIVkh1 +a2ykh2,
(10)
tl 1 — п0
tl1 -tl о
Величины O1 и аа приведены в табл. 1.
Таблица 1
I2In1 "г а, " «г/«1 а, аг
2/1 3/2 4/3' 5/4 6/5 —0,3333 —0,8000 ¦ —1,2857 —1,7778 —2,2727 1,3333 1,8000 2,2857 2,7778 3,2727 7/6 8/7 3/1 5/3 7/5 —2,7692 —3,2667 —0,1250 —0,5625 —1,0417 3,7692 4,266 1,1250 1,5625 2,0417
Пример 4. Уточнить величину прогиба по середине пролета балки (см. пример 1). Определим прогиб по середине балки при шаге
A1=Y' Согласно формуле (3). уравнение (6) запишется в виде:
Уо — 2у2+у0 ___4 gl*
32 EI '
так как V0=O, то у%
о ^ а/*
И «! = 2, у2Нг---—
h\ Ql1
64 EI
т. е. JZ2A1
4
512 и я2=4.
а/4 . г
— при шагеA1=-El v 2
при шаге A3 512 ?/ F Г
Используя формулу (10) и табл. 1, находим уточненное значение Уз-
у.=(-0,3333-8+ 1,3333-7) -^—=—0,0130^, /а v ' ' ' 512?/ EI
что совпадает с точным значением.'
II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 1. Теория упругости. Основные гипотезы
В теории упругости рассматриваются деформации и внутренние усилия в упругих телах под действием заданных внешних сил и при заданных условиях закрепления. Если в сопротивлении материалов главным образом изучается поведение стержня, а в теории сооружений— системы стержней под действием внешней нагрузки, то теория упругости/ рассматривает также вопросы определения деформаций и напряжений в плитах, оболочках, массивных фундаментах, шаровых опорах и т. п. Рис. 7.
Методы теории упругости, применяемые для определения напряжений и деформаций, более строги, чем методы сопротивления материалов и свободны от ряда гипотез.
Например, при изучении изгиба в сопротивлении материалов вводится гипотеза Бернулли, согласно которой поперечные сечения
бруса, бывшие плоскими до деформа- • , ции, остаются плоскими и после нее. Как следствие этой гипотезы, нормальные напряжения линейно изменяются по высоте бруса (рис. 7, а). При определении напряжений в изгибаемых элементах методами теории упругости необходимость применения этой гипотезы отпадает.
