Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Методы теории упругости позволяют также установить пределы применимости той или иной гипотезы сопротивления материалов. Так, гипотеза Бернулли дает удовлетворительные результаты только в тех случаях, когда сечение балки мало по сравнению A^l тг
с пролетом у<—. Если высота сечения того же порядка, что и пролет балки, то гипотеза Бернулли уже не применима.. Сечения не остаются плоскими и напряжения по высота» меняются по криволинейному закону (рис. 7,6).
•Методами теории упругости может быть решен ряд задач, которые не удается разрешить элементарными методами сопротивления материалов. Например, определение напряжений около края отверстия пластинки (рис. 8, а), в зоне приложения внешней нагрузки, в упругом массиве, в местах перелома брусьев (рис. 8,6) и пр.
Исследуя вопросы определения напряжений и деформаций на более глубокой основе, теория упругости оперирует более сложным математическим аппаратом,-чем сопротивление материалов.' Приходится даіеть дело с дифференциальными уравнениями высших порядков и притом в частных производных.
Как и во всякой науке, в теории упругости исходят из некоторых основных предпосылок. I
1. Исследуемое тело предполагается упругим, т. е. изменяющим свою форму под действием внешних сил и полностью восстанавливающим первоначальную форму после удаления этих сил.
2. Материал тела предполагается однородным, т. е. упругие свойства материала одинаковы во всех его точках.
3. Материал тела предполагается изотропным, т. е. его упругие и физические свойства одинаковы во всех- направлениях (в таком теле зависимость между напряжениями и деформациями не изменяется прй повороте координатных осей).
Ю 4. Предполагается, что материал тела 4 обладает свойством сплошности, т. е. вещество тела непрерывно распределено по всему его объему как до, так и после деформации.
5. Существующие до приложения нагрузки начальные напряжения в теле полагаются равными нулю.
6. Материал тела" соответствует закону Гука.
7. Упругие деформации считаются малыми по сравнению с линейными размерами тела.'
Предпосылки об однородности, изотропности и сплошности упругого тела дают возможность широкого применения дифференциального метода в качестве основного и общего в теории упругости. Принятие закона Гука и допущения о малости упругих деформаций позволяют пользоваться принципом независимости действия сил.
При определении напряжений и деформаций в упругих телах различают пространственную и плоскую задачи. Задача будет пространственной, если все три измерения рас-' сматриваемого упругого тела одного порядка, и плоской, если одно измерение мало по сравнению с двумя другими. При рассмотрении плоской задачи теории упругости различают два случая: плоское напряженное состояние и плоскую деформацию. Напряженное состояние тела называют плоским, если в точках этого тела величина напряжений не изменяется по одному направлению и по всем площадкам, перпендикулярным этому
направлению, напряжения равны нулю. В таком напряженном состоянии находится, например, тонкая пластинка (рис. 9), на которую в ее плоскости действует любая взаимно уравновешенная ,система сил, равномерно распределенных по тол-~ щине пластинки. На обеих поверхностях пластинки, перпендикулярных оси Z, напряжения равны нулю. Так как толщина пластины не велика, • напряжения можно считать равными нулю по всей ее толщине, т. е. распределение напряжений является плоским. Если при напряженном состоянии тела перемещения всех точек могут происходить только в двух направлениях, т. е. только в одной ^плоскости, то такая деформация называется плоской. Например,, в условиях
Рис.
Рис. 9.
11 плоской деформации находится пластинка, расположенная между абсолютно жесткими плитами (рис. 10) с неизменным расстоянием между ними, сжатая силами, параллельными плоскостям плит.
В тождественных условиях будет находиться пластинка, вырезанная из длинного упругого тела, нагруженного силами, не меняющимися по длине тела и перпендикулярными к этому направлению. Например, пластинка, вырезанная из длинной подпорной стенки (рис. 11, а), плиты (рис. 11,6) или свода (рис. 11, в).
§ 2. Методика решения задач теории упругости
Как уже было отмечено ранее, предметом теории упругости являете? определение напряжений и деформаций, возникающих в упругом теле от заданной Рис. 10. нагрузки. Напряжения и перемещения в
каждой точке упругого тела различны. Так как положение любой точки, например, А (рис. 12) определяется ее [координатами,$ та напряжения и перемещения будут функциями координат.
Рис. 11.
12 \Для решения поставленной задачи [в произвольной точке А упругого тела вырезают кубик бесконечно малых размеров и составляют, для него уравнения равновесия и уравнения деформаций. Эти уравнения ввиду принятых гипотез сплошрости, однородности и изотропности упругого тела будут справедливы и для любого другого кубика бесконечно малых размеров. Связь между напряжениями и деформациями устанавливается на основании закона Гука.
Полученные уравнения — дифференциальные уравнения в частных производных. Решение этих уравнений сводится к подбору функций, которые удовлетворяли бы этим уравнениям и условиям на поверхности.
