Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения —б - таблица а-таблица ^—^ Д*Р J Проверка
I OU Ol2 Ol3 р 2І=6П+612+613 Si=Si
II1 «12 oL *23 ^2-^22 + ^23 2г=22+аі22і
III11 аіз а23 6і 1 °33 41 J Е^Ез+аїзЕї+ОгзЕг
27 Анализируя проделанный выше порядок исключения неизвестных, приходим к выводу, что коэффициенты а-таблицы и 6-таблицы будут определяться по следующим простым правилам.
1. Каждый элемент а-таблицы равен симметрично расположенному относительно главной диагонали коэффициенту б-таблицы, взятому с обратным знаком и поделенному на диагональный коэффициент. См. выражения (45), (53):
_ б12 _ _ 612
И12— Z > а13— I »
"11
а,
Sj3
2. Каждый коэффициент 6-таблицы, стоящий в г'-ой строке и к-ом столбце, равен коэффициенту заданной системы уравнений, стоящему на таком же месте, голос сумма произведений множителей а г'-ой строки на соответствующие б в k-ом столбце. См. соответственно выражения (48), (49) и (54):
SL = S22+ O12S12',
O23 = o2S + a126i3;
O33 = S33 + Oi3S13 + a23Sl3.
По этому же правилу определяются и свободные (грузовые) члены. •См. выражения (50), (55):
Mp=A2^a12Aip;
» ' Азр=A3p + O13Alp + O23A21P-
Проверкой правильности выполненных операций является равенство сумм коэффициентов каждого уравнения треугольной, системы (57), полученных непосредственным сложением, и тех же сумм, но полученных по правилу 2. Соблюдение этого равенства следует из того, что все коэффициенты oik . каждой из строк множатся на один и тот же коэффициент (а), что и ^умма коэффициентов данной строки. Следует заметить, что эта проверка выявляет только ошибки вычислителя, но не гарантирует от потери точности вычислений из-за иотери значащих цифр и от накопления погрешностей округления.
В задачах строительной механики коэффициенты при неизвестных dik системы канонических уравнений (44) не зависят от нагрузки. Так, при расчете пластинок они будут зависеть только от структуры сетки. Свободные же члены Aip зависят только от нагрузки. Так как нагрузка может меняться, то возникает необходимость в решении системы уравнений (44) при произвольных свободных членах. * '
28 Запишем эту систему в виде:
S11X1 + S12X2 + S13X3 = Jz1; S21X1+ S22X2+ S23X3=Jz2; SeiX1+ S32X2+ S33X3=Jz3,
(116)
где ylt уг, jz8 — произвольные свободные (грузовые) члены.
Так как эта система уравнений линейная, то значения неизвестных будут линейно" зависеть от заданных свободных членов, а потому ее решение принимает такой вид:
Коэффициенты вида $ik носят название коэффициентов влияния или чисел влияния.
Поскольку мы предполагали, что система (58) каноническая, т. е. Sfft=S^1-, то и коэффициенты влияния будут обладать свойством взаимности: Рассмотрим их определение.
Если в заданной системе уравнений (58) принять в правой части jz1=I, a Jz2=Jz3=O, то в Правой части "системы (59) остается один столбец,, т. е. коэффициенты влияния первого столбца (59) являются решением (58) при указанной правой части. Отсюда следует, что для вычисления всех коэффициентов влияния надо рещить систему уравнений (58) при таких правых частях:
Эта система после приведения ее к треугольной в рассмотренном ранее порядке будет иметь вид:
Начиная с третьего столбца свободных членов, обратным ходом определяем искомые коэффициенты влияния:
(60)
(61)
(62)
Psi=X1= -А*Х2—^X3 = OlaPas + a13?.
6
S1
S1
'и
1U
29 Используя второй столбец свободных членов H свойство взаимности коэффициентов влияния, находим:
Рз2 — X3- — P23, ft11
°33 ^
Рг2= X2=—- — X3 = —- f- a2S?23;
ft1 ft1 fi1
и22 и22 и22 і
P12=X1 =
"12 Sil'
X2 — X3=al2?22 + a13?3
(63)
Аналогично по первому столбцу свободных членов определяем:
?si—X3—?13;
Ргі=X2=P12; Ph=X1=-J--^X2-
Oil O11
iXa
- + Ct12P12 + Ct13P13.
(64)'
Следует заметить, что свойство взаимности коэффициентов влияния избавляет от необходимости определения свободных членов правой части (61), стоящих ниже диагональных элементов, т. е. K21, K31, TC32. Все вычисления следует вести в таблице. Форма расчетной таблицы приводится ниже (табл. 3).
Эта таблица состоит из трех частей. В верхней части записывается заданная система уравнений, а в нижней — результат. Средняя часть, представляющая собой запись решения, состоит из двух таблиц а и б. Коэффициенты этих таблиц определяются по правилам 1 и 2. Правый крайний стрлбец таблицы содержит суммы коэффициентов каждой строки и используется для проверки решения. Проверку решения удобно выполнять, исходя из так называемых условий ортогональности.
Если (59) действительно является решением (58)? то подстановка этих значений X в любое из уравнений (58) должна обращать его в тождество. Подставим величины X согласно (59) в первое уравнение системы (58):
(Oii?ii + ^ігРзі + 6ізРзі)ІУі + (On?i2 + O12P22 + S13P32) Уг + • ~f~ (O11P13 + 012Р2з + ^i3P33) Уз=Уі •
•(65)
Для того, чтобы (65) обращалось в тождество, необходимо выполнение таких условий:
oii?n + 0IaPai + 0ізРзі= 1; I
O11P12 +ЗігРгг+0ізРз2=°; (66)'
» O11P13 + 612Р23 + 6I3P33= 0. J
