Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
д2ф dy J д2ф dx
ду2 ds дх ду ds.
20 /даф dx . ааф фЛ_ Y
Iaxs ds дхду dsj
ИЛИ
ду \ду I дх \dy I
— № dx+ ± (0Ф \ d _ Yds. dx I dx / dy \dx J
Левые части полученных равенств представляют собой полные дифференциалы от производной функции напряжений соответственно ПО у И X, т. е.
d (H)-XdS-,
Интегрируя полученные равенства по s от S=O до S=S1, где S1 — длина дуги контура AgA1, найдем значение производных от' функции напряжений в точке A1:
'D-J Xds=R,; (28,
.51-- 1т=~«>- (29)
где Rx и Ry — проекции на оси х vi у главного вектора внешней нагрузки, приложенной к участку контура A0A1.
Для наглядности введем следующую аналогию: заменим контур пластинки стержнем той же формы, разрезанным в точке A0. Rx и Ry будут представлять собой сумму проекций сил, приложенных к части A0A1 этого стержня, на оси х. и у. Если вместо осей х и у взять новые оси п ит, направленные по нормали и касательной, то формулы (28), (29) в новых осях' будут имет^ вид:
(A)i-W1; - (30)
?г)га' . <31>
где N1 —¦ продольная сила в точке A1 стержня; Q1 — поперечная сила в точке A1 стержня.
Знак — в формуле (30) означает, что при данных направлениях проекций поверхностной силы (см. рис. 18), приложенной в точке А, нормальная сила в точке. A1 стержня будет вызывать сжатие. Полный дифференциал фуйкции <р(л:, у);
d(p=0Vdx+*Pd» ' (32)
дх ду
' 21
\ Для определения значения функции напряжений в точке A1, принимая во внимание зависимости (28), (29), интегрируем равенство (32)
X1 у,
V^-Ry^dx + R^ldy^R^Xr-xJ + RAyi-y^Mu (33)
Xr Vr
т. е. значение функции напряжений в точке контура равно взятому относительно этой точки моменту нагрузки, приложенной к дуге контура между начальной точкой и данной. Иными словами, если контур пластинки рассматривать как стержень с разрезом в точке A0; то величина функции напряжений в произвольной точке контура равна величине изгибающего момента в этой точке.
Рис. 19.
Таким образом, определение значений функции напряжений в точках контура сводится к построению эпюры изгибающих моментов в плоской стержневой системе, имеющей очертание контура пластинки.
Если найдена некоторая функция <р1; Удовлетворяющая уравнению V2V2 (ф)=О и условиям на контуре для какой-либо определенной задачи, то функция + ax-\-by+с при любых постоянных а, Ь, с также будет функцией напряжений для той же задачи (вторые производные, представляющие собой напряжения, будут одинаковы). Это двойство функции напряжений дает возможность при определении ее величины на контуре строить эпюру изгибающих моментов для любой произвольной статически определимой или неопределимой стержневой системы, имеющей очертание контура пластинки.
Так, например, для определения величины функции напряжений на контуре в прямоугольной пластинке (рис. 19, а) и построения эпюры моментов может быть принята статически неопределимая {рис. 19, б) или статически определимая рама (рис. 19, в, г). Следует принимать такую систему, в которой эгаора моментов имеет меньшую протяженность. В рассматриваемом случае лучше принять систему согласно рис. 19, г.
22 ... * III. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ СЕТОК
§ 1. Уравнение неразрывности деформаций в форме метода сеток
Как мы уже выяснили, решете плоской задачи теории упругости сводится к нахождению такой функции ср(х, у), которая удовлетворяла бы уравнению (24) и на контуре пластинки у приобретала заданные значения.
Для определения величины ф (х, у) нанесем на рассматриваемую пластинку сетку с интервалом в направлении оси х — Ax и в направлении оси у — А у (рис. 20). Для произвольной точки k пластинки , запишем уравнение . (24), заменив в нем производные о '
их приближенными выраже- рис. 20.
ниями через . значения функ- *
ции ф (х, у) в соседних с k точках. Функцию напряжений в точке k обозначим фд„ в соседних узловых точках —фа, ц>ь, фе, ..., фт, Фл. Согласно формуле (5) при замене у на ф и h на Ах, получаем:
Zd4Cp\ ^ч.ф; — 4ф„+6(р/г—4фа+ф„
\ дх4 Ik' Axi
И
/а*ф\ =ф,- — 4фа+ 6фй — 4фс+фт
UWfe Ау
Используя формулу (3), найдем: '
/_а«ф_\ =j?_ /а>\ ^ а* / ф„-2фй + \ \дх*ду*)к ду2 { дх3 ду2 1 Ax2 J
__ K dy2Ib Uy lk\dy*)d __ Ax2
_ ФЙ— гфб+ф^, — ^(фа — 2фй+фс)+фг — 2фгі+фя
Ax2 ДУ ~
_4<Pfc — 2 (Фа+Фб + Фс+Фйр+Фг+Фу+Ф^+Фй"
Ax2 Ay2
23
г
— J— г
P
і
г а t
п ( 1/ Ї t*
h Tc I« Г
Ъп T
T I
— лх Найденные значения производных подставим в уравнение неразрывности деформаций:
д*Ф , о д4(Р і а4Ф =Q дх* дх2 ду2 ду1
Обозначив =а, получим: \
<рА (6а2 + 8а + 6) — 4 (cpf+ аср„ + срс + acpd) (а + 1) + + 2 (сре + (pg+ф/ + срй) а+ф. + фга2 + Фт + Ф„а2=0. (34)
При квадратной сетке, когда Ax=Ay и а=1, это уравнение будет иметь вид:
20фй — 8 (фа + % + фс + Ф^) + 2;(фе + Фг + Ф/+Фй) +
+ фг + фг + ф„ + ф„=0. (35)
Если это уравнение записать для каждой узловой точки сетки, находящейся внутри контура пластинки, то мы получим систему линейных алгебраических уравнений. Решая эту систему, определим величины функции напряжений во всех внутренних 'узловых точкйх.
