Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
В уравнение (34) для точек, ближайших к контуру, войдут величины функции напряжений в точках, расположенных на контуре и за контуром. Величины функции напряжений в точках контура определяются, как это было показано ранее, по эпюре изгибающих моментов, которая строится от заданной нагрузки в стержневой системе, имеющей очертание контура пластинки.
• Величины функции напряжений в законтурных точках определяются путем экстраполяции. Простейшую экстраполяционную формулу можно получить, исходя из выражения (2а) для первой нормальной производной, значение которой известно на контуре и равно продольной силе от заданной нагрузки в стержневой системе, имеющей очертание контура пластинки (см. § 6, гл. II).
В точке t контура (см. рис. 20), согласно формулам (2а) и (30),
/*Р| _ v
U Xit 2Дх "
отвода значение функции напряжений в законтурной точке х
<px=% + 2AxNt=<pq + At, (36)
где
At=2AxNt.
t
Аналогично величина функции напряжений (см. рис. 20) в законтурной точке у
%=% + 2AyN=<?p+Ar, (37)
где
[A=2AyNr.
24 Определив из системы уравнений функцию напряжений в каждой узловой точке, найдем по формулам (23) напряжения в точке k:
. ах. (38>
V ду2 Jk Ay2
= (39)
\дх Ik д*2
X — ( д2Ф \ 1_Ф^+Фг~(Фй+<Р/) (40)
Х'У' \dxdyjk . 4ДлгД_у
По величинам нормальных и касательных напряжений могут быть определены главные напряжения:
<W =4{(J* + tTv)±-f V(°x - сту)2'+ 4?; (41)
min ZZ
Tmax=^-V (ox-oyr + 4t*xy. (42)
, ' Напряжения CTmax действуют по площадкам, нормаль к которым наклонена к оси у под углем а. Этот угол определяется из уравнения
tg2a=-- . - (43)
§ 2. Решение системы канонических уравнений
Решение плоской задачи теории упругости методом tсеток сводится, как мы уже установили ранее, к решению системы линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются величины функции напряжений в узловых точках сетки внутри контура пластинки. Количество уравнений будет зависеть от густоты сетки. Чем меньше шаг сетки, тем больше мы получим узлов и, следовательно, уравнений и наоборот.
При более мелкой сетке мы получим более точные величины искомых напряжений, но трудоемкость расчета будет большей, чем при крупной сетке. Практически даже при сравнительно крупной сетке количество уравнений получается более четырех-шести. В этом случае для решения системы уравнений целесообразно применение ручного арифмометра, или еще лучше, — полуавтоматов и автоматов. Эти, так называемые, малые счетные машины позволяют вычислять выражения вида:
-(O1Ib1 +aj>t+ ••• +апЬп) с
сразу без записи промежуточных результатов. При использовании малых счетнцх машин решение уравнений производится по определенной схеме, алгоритму. В настоящее время предложено несколько
25 (44)
типов схем1. Из них в большинстве случаев удачной является компактная схема Гаусса. Поясним сущность этой схемы на системе, состоящей из трех канонических уравнений2:
, SuX1 + S12X2+ S13X3 + Alp=0; S21X1 + 622X2 + S23X8 + A2p=0; S31X1 + б32Х2+S33X3 + A3p=0. Найдем X1 из первого уравнения системы (44):
X1=- X2 - X3 - ^l = O12X2 + O13X3 - (45)
O11 O11 O11 O11
где 6 6
а12=--а13= Iі5"-
Ou O11
Подставив в уравнение (44) найденное значение X1, получаем: (S22+O12S21) X2+ (S23+ O18S21) X3+A2p- -?- Alp=O; (46)
0H
(S32+o12S3l) Х2 + (б33+а13б31) X3 +A3p--Ja-Alp=O. (47)
o11
Имея в виду, что
S21=S12, S31=?S13, S32=S23; 4 г
а^21 =--Tii" Sl2 = a12Sl3.
O11
и обозначав
SL==S22+ a12S12; (48)
SL=S28+O12S13; (49)
Azp=A2pH-O12Alp; (50)
можем записать уравнения (46) и (47) в следующем виде:
S^2X2 + S^3X3+A^p=O; (51)
Sa2X2+(S38+O13S31) X3+A8p + O13Alp=O. (52)
Найдем X2 из уравнения (51):
oL Д^ Д'2
X2=--— X3--j— = O23X3 — ——, (53)
622 б22 O22
1 См.: В. Н. Фадеева. Вычислительные методы линейной алгебры. Гос. изд. техннко-теор. лнт. М.—Л., 1950; Б. П. Демидович и ,И. А. Мароч. Основы вычислительной математики. Гос. изд. физ.-мат. лнт. M., 1963.
а Каноническими уравнениями называются такие уравнения, в которых коэффициенты удовлетворяют принципу взаимности, т. е. При рассмот-
рении плоской задачи теории упругости мы предполагали, что материал пластинки упругий и подчиняется закону Гука.
26 где
ы
— *
23
э22
Подставив в уравнение (47) вместо X2 его значение, получимг
(O33 + Ol3Ol3 + а23б2з) X3 +A3p + а13&1р + «23А2р= 0.
Обозначив
будем иметь:
б зз = S33+а13б31 + O23S^; Азр=A3^o13Alp + O23A Ip,
O33X3 + A^=O.
(54> (55>
(56)
Таким образом, в результате последовательного исключения неизвестных систему уравнений (44) можно привести к треугольной:
SnX1 + S12X2 + S13X3 + Alp=0; 02зХ2 + Sg3X3 + Агр = 0; > SHX3+АЦ = О,
(57)
из которой обратным ходом (начиная с последнего уравнения и кончая первым) найдем значения X3, X2, X1. Все вычисления следует вести в табличной форме (табл. 2).
Таблица 2
Уравнения X1 X, X3 % 2?
I On Ol2 Ol3 АЇР 2l=Oll+O12+O13
II к O22 O23 Д2р 22=021 + 022+023
III S3I O32 O33 Дзр 2з==031+бз2+0зз
