Расчет пластинок на прочность и устойчивость методом сеток - Чуватов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Надо заметить, что не всегда удается подобрать такие функции, поэтому ряд задач, главным образом 'пространственных, не решен.
В дальнейшем мы ограничимся выводом и решением- основных уравнений только плоской задачи теории 'упругости. Для решения уравнений будем пользоваться методом сеток.
Рис. 12.
§ 3. Дифференциальные уравнения равнфесия
Рассмотрим элемент' с размерами Лх и dy, вырезанный из пластинки единичной толщины (рис. 13). Напряжения, действующие
.b=.L
dx
/
Рис. 13.
дТах
Iux+-Idfte
Рис. 14.
в центрах граней этого бесконечно малого элемента, показаны на рис. 14. Если нормальное напряжение на левой грани ах, то на правой оно получит некоторое приращение. Так как напряжение
13 в каждой точке является функцией 2-х переменных X и у, то приращение Ox при постоянном у равно: dx. Аналогично определяются приращения оу и Xxr Горизонтальную проекцию объемной силы1, (приходящейся ' на единицу объема, обозначим через Х\ вертикальную проекцию — через Y. Для данного элемента можно записать три уравнения равновесия. 1. SMil=O .
, dx ( , dxXy . \ . dx
W dv Y+V^+^rdx) dy'T=
Пренебрегая бесконечно малыми величинами 3-го порядка, после сокращения всех членов на величину ^dxdy получаем:
^v=V- (11)
2. ?Х=0
3. SF=O
¦у* dxdy + dy dx+Xdx dy=0.
дОу дтху
dy dx + dxdy+Y dx dy=0.
ф
После сокращения получаем: ^
+ (12а)
дх ду
до„ дх~„
-^+^" + 7=0- (13а) ду дх
Если объемной силой является только- собственный вес упругого тела, то Х=0, Y=—р, где р — вес единицы объема. Уравнения (12а), (13а) будут иметь вид:
даг 9т™
-U-+-J»= 0; (126)
дх ду ¦ ,
дв„ дх,.у
-L+--2—P=0. (136)
• ду дх
Из уравнений следует, что рассматриваемая задача, как и все задачи теории упругости, статически не определима. В этих уравнениях три неизвестных: ах, ау, хху. Для определения величин напряжений следует учесть деформации элемента.
1 К объемным силам относятся собственный .вес, инерционные силы, силы магнитного лритяжения.
14 і \ § 4. Зависимость между деформациями и перемещениями
Рассмотрим малый прямоугольный элемент abed, со сторонами dx и ду, выделенный из недеформированной пластинки единичной толщины (рис.- 15). После деформации элемент переместится в новое положение a'b'c'd', изменив свою шорму (его стороны удлинятся и повернутся). Пег ремещения каждой точки будут фущщиями координат. Если перемещение точки а в* направлении оси х обозначить через и, д в направлении оси у — через V, то u=f(x, у), V= ft (х, у), соответственно:
du=^-dx+ — dy и dv= ах. ду
= — dx+ — -dy. Перемеще-
дх ду ' v '
ниє точки d, отличающейся от точки а только координатой X (у=const) в направлении Рис. 15. оси X будет и+ du, а в направлении оси у — v+dv или соответственно:
ди J , dv ,
и~\--dx и гч--dx. *
дх дх
Аналогично перемещение точкїі Ъ, отличающейся от точки а только координатой у (х=const) в направлении оси х будет
u+-~dy и в направлении оси у — dy. Ввиду малой вели-
• чины упругих деформаций можно принять a'd'=a'd" и a'b'=a'b". Относительное удлинение стороны ad:
ди , , dx+—ах-а d — ad дх
¦dx
ad
dx
или
e„=-
ди_ дх'
(14)
Относительное удлинение стороны ab: * dv
- є a'b'-ab dy+T/y-dy y ab ' dy
15 или
V= ?. (15)
ду
Деформация сдвига уХу определяется как изменение величины угла между отрезками ad и ab, первоначально параллельными осям X и у, т. е. Ввиду малости упругих деформаций можно
принять <x=tga= — и ?=tg?=-^<, тогда дх ду
у = to.+•*!., ' (16)
Yxy дх ду '
Выражения (14), (15), (16) представляют собою дифференциальные уравнения, связывающие деформации и перемещения.
§ 5. Уравнение неразрывности деформаций. Зависимость между деформациям« и напряжениями
При изучении деформаций из пластинки вырезается прямоугольный элемент и рассматривается его деформация. Деформации смежных элементов не могут быть какими угодно, они должны быть
взаимосвязаны. Например, с & в' _ если пластину разрезать
на квадратики бесконечно малых размеров (рис. 1 б, а), а после деформации их. сложить, то в общем случае между ними могут остать-РйС 16 1 , ся пустоты (рис. 16, б).
* Для того, чтобы де-
формированные квадратики' могли быть составными частями деформированной пластинки (рис. 16, в), необходимо, чтобы их деформации. удовлетврряли условию сплошности, т. ё. в пластинке под действием нагрузки не должны появляться трещины, разрывы или сдвиги одной части по отношению к другой. Пластинка, сплошная до !деформации, должна оставаться сплошной и после нее.
Математическое выражение условия сплошности мы можем получить', исходя из уравнений (14), (15), (16).
В эти уравнения входят три составляющие деформации єх, гу, уХу, которые выражаются при помощи двух функций и я v.
Эти составляющие деформации не могут бытьпроизвольными, между ними должна существовать определенная зависимость. Для установления этой зависимости исключим из уравнений (14), (15), (16) и и о.
16 Дифференцируя уравнение (14) дважды по у, уравнение (15) "дважды по л: и уравнение (16) один раз по х м второй по у, находим:
