Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Во-вторых, обсуждение символики у древних необходимо потому, что некоторые исследователи все же склонны были признавать ее наличие и на ранних ступенях развития математики. Например, О. Нейгебауер в своих первых работах по истории вавилонской математики полагал, что общие обозначения неизвест-
12 Э. И. Березкина
177
ных величин при помощи слов «длина», «ширина» и т. п. были символами, вроде наших х ж у. Действительно, эти слова выделялись из текста, написанного по-аккадски, тем, что были написаны на шумерском языке. Но эти зачатки символики все же не дают основания считать их полностью символами, так как только подлинные символы допускают проведение операций над ними, вавилонские же задачи всегда решались в числах. Ни сокращенные обозначения, ни знаки-идеограммы, еще не ставшие полностью символами, т. е. знаками, совершенно утратившими свое семантическое значение, не могут составить настоящую символику. Запись, хотя бы и более краткая, не составляет достаточного условия для символики, но является необходимым условием для нее. Символика применяется не только для зашифровки специального текста, не только ради сокращения записи, но способствует более ясному выяснению содержания. Если величина обозначается, например, символом х, то правило формулируется не только короче, но и яснее. Искомая величина в конечном счете выражается в виде формулы, и результат получается в явном виде. Именно в этом и состоит отличие формул от алгоритмов. Хотя формула тоже является программой для вычисления искомой величины и может быть словесной, она отличается от алгоритма тем, что выражает результат явно. В китайских текстах встречаются формулы, главным образом описывающие словесно площади и объемы. Например, в правиле к задаче 8 книги V, где определяется объем параллелепипеда с квадратным основанием, говорится:
«Умножь сторону на себя, умножь на высоту, это и будет объем в чи» [50, с. 474].
Здесь, как в вавилонских текстах, употребляются «универсальные» обозначения: для «стороны квадрата» — фан, «высоты» — гао, «объема» — цзи, — термины, установившиеся в китайской математической литературе. Правило высказано весьма компактно и является фактически описанием формулы У=а2к, где а — сторона квадрата, А — высота, а У — объем тела. Хотя это фраза, но она воспринимается прежде всего зрительно, как древние китайские стихи, и потому ее компактный вид делает ее почти формулой. Можно было бы привести для сравнения текст древнего алгоритма, например алгоритма Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, но мы этого делать не будем.
Каким образом «записывалось уравнение» в древнекитайских текстах? — вопрос, который нас интересует более всего. Ли Янь считал, что понятие уравнения фактически было: для неизвестных употреблялись специальные обозначения, а свободный член назывался «ши», он как бы включал в себя знак равенства. Как нам представляется, дело обстояло все же не совсем так. Древнекитайская алгебра была полностью словесная, и для описания «уравнения» существовала специальная терминология. Вначале она не была универсальной, но постепенно становилась все более четкой и единообразной. Рассмотрим ее несколько подробнее, например, в задаче 15 книги VIII «Математики в девяти книгах» (далее будет
178
ясно, почему именно в ней): «2 снопа урожая А, 3 снопа урожая Б, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 [снопов урожая ] А [превышает дань] на [вес] 1 [снопа урожая] Б, вес 3 [снопов урожая] Б на [вес] 1 [снопа урожая] В, [вес] 4 [снопов урожая] В на [вес] 1 [снопа урожая] А. Спрашивается, каков вес каждого из снопов урожаев А, Б, В?» [50, с. 505]. Система в наших обозначениях имеет вид
. 2х=1+у, Зр = 1+*, 4г = 1 4- х>
где х, у, 2 — веса соответственно каждого из снопов урожаев Л, Б, В. Как видим, китайский текст весьма компактен, в переводе мы вынуждены были постоянно добавлять слова для связности. Условие описывает систему в целом, а не отдельно, называя каждое уравнение. Кроме того, в отличие от других задач здесь урожаи обозначены литерам:и (в китайской письменности они представляются циклическими знаками, к которым принято обращаться и в наше время), а не классифицированы как хороший, средний, плохой урожаи, хотя и в таких обозначениях был свой резон. По-китайски эти категории урожая буквально обозначались словами: «верхний» (шан), «средний» (чжун), «нижний» (ся), так что коэффициенты при неизвестных (если обозначить неизвестные соответственно через х, у, z) в матрице системы займут действительно верхнюю, среднюю, нижнюю строки, поскольку таково китайское классическое письмо. Уравнения будут представлены столбцами в порядке справа налево. Приведем текст задачи 1 книги VIII «Математики в десяти книгах», к которому в дальнейшем мы будем не раз обращаться:
«Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и
1 снопа плохого урожая получили 39 доу [зерна]. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу [зерна]. Из 1 снопа хорошего урожая,
2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого получили 26 доу [зерна]. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожаев?
