Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: из 1 снопа хорошего урожая 9 1/4 доу, из 1 снопа среднего урожая 4 1/4 доу, из 1 снопа плохого урожая 2 3/4 доу» [50, с. 498—499]. Китайский текст гораздо компактнее перевода. Например, первая фраза звучит так: цзинъ ю: шан хэ санъ бин, чжун хэ эр бин, ся хэ и бин, ши санъ ши цзю доу [100, с. 221], буквально, «имеется: верхний урожай 3 снопа, средний урожай 2 снопа, нижний урожай 1 сноп, ши составляют 39 доу». Таким образом, в условии представлена система
Зж + 2г/ + 2 = 39, 2ж + 3г/ + * = 34,
. ж + 2г/ + 32==26,
179
12*
которую мы записали в нашей символике, обозначая неизвестные х, у, 2. У древнего китайского вычислителя были, с одной стороны, текст, с другой — счетная доска, на которой он мог выложить палочками заданные в условии числа. В данном случае согласно правилу, сопровождающему задачу, он это делал так:
Эта матрица, расширенная, как принято теперь ее называть, т. е. состоящая из коэффициентов и свободных членов, и представляла китайское уравнение на счетной доске. Древний автор описывает составление такой матрицы следующим образом:
«Расположи 3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая, 1 сноп плохого урожая, составляющие [их] 39 доу [зерна] с правой стороны. [Расположи] посередине и слева [количества снопов] урожаев в таком же порядке, как и с правой стороны» [50, с. 499 ]. Толкование Ли Яня слова ши как свободного члена уравнения весьма соблазнительно, в данном случае оно вполне подходит. Однако этот термин встречается лишь в первых шести задачах книги VIII «Математики в девяти книгах», во всех, где речь идет о снопах и зерне. Даже в задаче 15 на ту же самую тему (мы ее процитировали выше) это слово уже не употребляется. Терминология в ней другая: снопы различаются по весу, а не по емкости содержащегося в них зерна, термина ши в тексте этой задачи нет. В остальных задачах вместо ши употребляются другие выражения эквивалентности одной части уравнения другой. Мы уже видели это в задаче 15. Все они описательного характера. Заметим, что знак равенства, которым мы пользуемся, впервые ввел Рекорд в 1557 г., но общеупотребительным он стал еще позже, в XVIII в.
Кроме того, в том же правиле ши употребляется в обычном, принятом в китайской математической литературе значении «делимого». Чтобы вычислитель не перепутал эти два ши, специально отмечено в правиле:
«Верхнее [число] есть делитель, нижнее есть делимое, делимое для [искомого количества ] снопов плохого урожая» [50, с. 499]. Свободный же член назван «нижним содержимым», «нижним ши» для определенного вида урожая. Таким образом, терминология создавалась главным образом вокруг табличных чисел (см. о ней подробно далее в § 5). Здесь мы отметим только значение «циклических знаков» в китайском математическом тексте, которые мы переведем буквами А, Б, В. Обычно в древних задачах пользовались знаками десятеричного, а не двенадцатеричного цикла. В трактатах «Десятикнижья» А, Б, В, . . . это люди, уезды, семьи и, как мы видели, сорта урожая. В дальнейшем циклические знаки употреблялись также для обозначения неизвестных в линейных системах, их применял в XIII в. Ян Хуэй. Однако следует отметить, что иероглифы тан, чжун и ся, с помощью которых в образ-
180
цовых задачах книги VIII «Математики в девяти книгах» продемонстрировано правило фан-чен, также часто применялись в дальнейшем. Особенно любопытно их использование в задаче 13 средней книги трактата Чжан Цю-цзяня для представления «двухин-дексной» таблицы (таблицы с двумя входами). Условие задачи Чжан Цю-цзяня:
«Имеется коэффициент > двор платит налог тафтой [в среднем] по 3 пи. Если же учесть [разное] состояние бедности, расположить согласно 9 рангам, то двор от двора отличается на 4 чжана. Имеется: высшего верхнего [ранга] 39 дворов, высшего среднего 24 двора, высшего нижнего 57 дворов; среднего верхнего 31 двор, среднего среднего 78 дворов, среднего нижнего 43 двора; низшего^верхнего 25 дворов, низшего среднего 76 дворов, низшего нижнего 13 дворов. Спрашивается, сколько должен выдать тафты каждый двор из девяти рангов» [51, с. 42].
Для обозначения строк и столбцов в подлиннике употребляются одинаковые иероглифы: шан («верхний, высший»), чжун («средний»), ся («нижний, низший»).
3. Классы задач и алгоритмы
Развитие математической науки в древности показывает, как постепенно из частных приемов решения той или иной задачи вырастали общие методы. Конечной целью математика было создание правила, состоящего из некоторого числа шагов, которые необходимо проделать, чтобы «сконструировать» искомую величину из заданных. Иными словами, математик должен был дать вычислителю алгоритм, по которому последний мог автоматически, не задумываясь, решить любую задачу указанного типа независимо от ее числовых данных.
Создание алгоритма требовало проведения исследования в нескольких направлениях. Во-первых, нужно было выделить определенный класс задач, для которого бы работал данный алгоритм, или найти каноническую форму задачи. Чтобы научиться сводить другие задачи к уже решенному классу задач, надо было попытаться расширить класс решаемых задач канонического типа насколько возможно. Естественно, что при этом возникали трудности, разрешение которых иногда требовало введения в математику новых объектов. Именно так были изобретены в европейской математике XVI в. мнимые числа, а в древнекитайской математике — отрицательные.
