Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
/ 6 9 2 \ / 4 5 2\ 20 5 2 / 0 5 2\
1 9 3 1 8 1 1 40 1 1 36 1 1
4105 129 45/, \60 39 45/, \300 39 45/, \144 39 45/.
Здесь сначала получают нули только в верхней строке. Для этого преобразуются верхние числа столбца, стоящего рядом с самым правым, затем следующего и т. д. Далее снова возвращаются к третьему слева столбцу от крайнего правого, чтобы получить нули во второй сверху строке, и так до тех пор, пока не получится треугольная матрица с нулями.
Правило, предложенное в трактате Чжан Цю-цзяня, свидетельствует о постепенном отмирании первоначально тесной связи матрицы с уравнениями. Однако полностью равноправными строки и столбцы матрицы сделать было невозможно, поскольку в нее входят свободные члены уравнений. Они связывают свободу действий над числами строк и столбцов независимо от их расположения. Заметим, что свободные члены уравнений в задачах «Десяти-книжья» всегда ставились внизу последними. Впоследствии Цинь Цзю-шао в своих «Девяти книгах по математике» поступал иначе.
Таким образом, получается своеобразный круг в развитии метода. В частных приемах решения системы, конечно, не было строгой последовательности действий с уравнениями, как мы далее увидим. Но при разработке общего метода отказались от всех частностей, установив общий порядок действий. На первом этапе это привело, как мы видели, к неподвижности столбцов и запрету производить какие-либо действия над уже преобразованными столбцами. Но далее, совершенствуя способ, снова фактически прибегли к умножению уравнений, освободив столбцы от абсолютной неподвижности.
Рассмотрим задачу 13 книги VIII «Математики в девяти книгах», сводящуюся к решению неопределенной системы линейных уравнений. Хотя в нашем распоряжении всего лишь одна задача такого рода, она показывает, что случай, когда число уравнений меньше числа неизвестных, не оставался без внимания древних математиков.
В условии задачи пять уравнений с шестью неизвестными заданы следующим образом:
Вероятно, далее надо считать так:
8. Неопределенная система
191
«У пяти семей имеется общий колодец. Чтобы достать [до Поверхности воды], 2 веревкам [семьи] А недостает 1 веревки [семьи] Б, 3 веревкам [семьи] Б недостает 1 веревки [семьи] В, 4 веревкам [семьи] В недостает 1 веревки [семьи] Г, 5 веревкам [семьи] Г недостает 1 веревки [семьи] Д, 6 веревкам [семьи] Д недостает 1 веревки [семьи] А. Спрашивается, какова глубина колодца и какова длина каждого куска веревки?» [50, с. 504].
Если обозначить через х, у, и, и веревки каждой семьи А, Б, В, Г, Д, а через а — общую длину этих кусков, то система уравнений в современной записи
2х-\- у = а, Зy^rz = a, 4з -\-и = а,
6и -{-х = а будет с симметричной матрицей
Iі 0 0 0 0 2\
0 0 3 1\
0 0 4 1 0
0 5 1 0 0
6 1 0 0 о/
V а а а а/.
Если поступать согласно методу фан-чэн, на что указано в правиле к задаче, то преобразования приведут матрицу к виду (мы опускаем промежуточные вычисления)
/
V
о
721
0 0 0 2
0 0 3 1
0 4 1 0
5 1 0 0
1 0 0 0
а а а а,
Отсюда
тогда
и =
76
У = 721а'
1 721а — 76а 129
т-= ~оТ а
721
721
и т. д. Однако в тексте мы не находим этих общих формул решения, В ответе же приведено лишь минимальное целочисленное решение, которое получается, если положить а=721:
ж=265, г/=191, 2=148, ы=129, у=76.
Действительно: «Ответ: глубина колодца 7 чжанов 2 чи 1 цунь, длина веревки [семьи] А 2 чжана 6 чи 5 цуней, длина веревки
192
[семьи] Б 1 чжан 9 чи 1 цунь, длина веревки [семьи] В 1 чжан 4 чи 8 цуней, длина веревки [семьи] Г 1 чжан 2 чи 9 цуней, длина веревки [семьи] Д 7 чи б цуней» [50, с. 504].
9. Отрицательные числа. Приведение уравнений к каноническому виду
Важнейшим событием в истории древнекитайской математики является открытие отрицательных чисел. Отрицательные числа обнаружены у Диофанта (III в. н. э.), их знали индийцы (Брахма-гупта, VII в.); ими пользовались арабские ученые (Абу-л-Вафа, X в.), но впервые они появились в Китае, именно в связи с решением линейных систем по единообразному матричному методу [4, с. 53]. Дело в том, что при преобразовании матрицы системы к треугольному виду может представиться случай, когда из «ничего» (т. е. из нуля) надо вычесть некоторое количество или из меньшего числа большее. Чтобы довести решение до конца и получить положительное решение, пришлось ввести в действие новые математические объекты — отрицательные числа. Именно так произошло при решении задачи 3 книги VIII «Математики в девяти книгах», в которой задана система
Вот условие этой задачи:
«2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая и 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожаев?» [50, с. 500].
Следует преобразовать левый столбец: умножаем его числа на 2 и вычитаем из полученных произведений числа правого крайнего столбца:
2х = 1^у9 Зу= 1-*,
42 = 1 — X,
т. е. матрипя
13 Э. И. Березкина
