Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 76

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 131 >> Следующая

Общее правило решения таких задач, как, впрочем, для любой его задачи, у Сунь-цзы сформулировано не было. Полное изложение метода для общего случая решения систем сравнений мы находим лишь в XIII столетии у Цинь Цзю-шао в его «Девяти книгах по математике». В первых двух свитках его сочинения, которые носят один общий заголовок «Класс задач на даянь» (да янъ лэй) и составляют первую книгу трактата, содержится девять задач на системы сравнений: четыре в первой книге и пять — во второй [105, с 1—53].
Термином «большое расширение» (да янъ) определяется число 2 М{, называемое «большим расширенным числом» (даянь шу).
Сам термин происходит от гадательной терминологии конфуцианской «Книги перемен» («И цзин») (VIII—VII вв. до н. э.), по тексту которой производилось предсказание судьбы [74]. Самая древняя мантическая часть текста, на основе толкования которой появился более поздний текст «Книги перемен», содержащий древнюю философскую систему взглядов. В основе такого гадания лежало предсказание судьбы по стеблям тысячелистника, которые раскладывались произвольным образом на отдельные груды, и т. п. В результате манипуляций с этими палочками и возникла теоретико-числовая задача, с которой Цинь Цзю-шао начинает свое сочинение, отдавая дань неоконфуцианству. Терминологию метода решения этой задачи он перенес на остальные задачи, уже не связанные с гаданиями.
Таково происхождение метода янъ, янь ту, что означает «способ чисел янъ», т. е. способ чисел М{. Напомним, что это дополнительные множители до произведений модулей к каждому из модулей сравнений системы: Ит{=М<т<. Термин прочно вошел в китайскую математику, таким образом, фразу «способ отыскания единиц по большому расширению» (да янъ цю и шу) можно вполне заменить современным эквивалентом: решение
167
систем сравнений первой степени с одним неизвестным, которым мы и будем пользоваться.
Первая задача сочинения Цинь Цзю-шао по своему математическому содержанию весьма проста. Она представляется с помощью нашей символики в виде системы сравнений
х = 1 (modi),
#==1 (mod 2),
х = 1 (mod 3),
х = 1 (mod 4),
что, очевидно, эквивалентно системе
ж = 1 (mod 3), ж = 1 (mod 4)
со взаимно простыми модулями. Ее решение тривиально:
ж = 1 (mod 12).
Из всех натуральных чисел, дающих в остатке единицы при делении их на 3, выбираются те, которые при делении на 4 также дают в остатке единицы. Это ряд чисел
а=12Л-И = 13, 25, 37, 49, 61, . . .
По условию задачи подходит #=49 (при Zc=4). Решение системы в наших обозначениях следующее. Первое сравнение обозначает равенство
х=1+3к, где й=1, 2, . . . Чтобы система была совместной, нужно, чтобы]
1+3^=1 (mod 4)
или
&! = 0 (mod 4),
т. е. А1=4Л2, тогда х=1+12к2, где Ла=1, 2, 3, . . .
В ответе к задаче 1 сочинения Цинь Цзю-шао названы два рода чисел:
24, 12, 8, 6 — янь шу, т. е. числа янь, 12, 24, 4, 9 — юн шу, т. е. числа юн.
Первые в сумме дают 50, т. е. число да янь, вторые — 49, число, которое требуется определить в задаче.
Решение этой первой задачи обстоятельно пояснено: после условия задачи сначала изложено общее правило, а затем решение самой задачи, которое сопровождается схемами вычислений.
В первой схеме выписаны все «основные числа» (юань шу), в наших обозначениях mi
1 1 1 2 1 3 1 4
168
Следует особо отметить здесь термин «небесный элемент» (тянъ юань), который вводится Цинь Цзю-шао именно здесь, при решении сравнений, а не уравнений высших степеней, как это делали другие математики.
Таким образом, этим термином у Цинь Цзю-шао обозначались единицы левого столбца приведенной выше таблицы, поставленные в соответствие модулям, при отыскании числа М{.
В следующей схеме найдены «расширенные числа» (янь ту) или М{:
24 1 12 2
8 3
6 4
Эти числа и их сумма названы в ответе. Напомним, что произведение чисел-модулей сравнений в правом столбце и произведения двух чисел каждой строки равны
Птю<=1 .2 -3-4 = 24.1 = 12-2 = 8-3 = 6-4 = 24 =
Эта процедура не одинакова с нахождением дополнительных множителей, как если бы дроби 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 складывались, хотя и похожа на нее. Средневековый автор даже называет «небесные единицы» числителями (цзы), а модули т4 (после приведения к взаимной простоте) знаменателями определенных чисел, или определенными знаменателями (узин му). Напомним, что представление дробей на древнекитайской счетной доске или в схемах вычислений было идентичным: знаменатели записывались в правой строке (иногда в нижней), а числители — в левой (или соответственно в верхней).
Далее Цинь Цзю-шао излагает решение системы
х = 1 (mod 3), х=1 (mod 4),
к которой, как он показывает, сводится заданная система. Делается это, согласно общему правилу, путем перехода ко взаимно простым модулям. Для этого для каждой пары модулей, в терминах средневекового ученого — знаменателей, надо найти общий наибольший делитель, по-китайски «равное число» (ден ту). Этот термин появился еще в древней «Математике в девяти книгах» при описании алгоритма попеременного вычитания для нахождения общего наибольшего делителя (алгоритм Евклида). При этом специально оговаривается, как нужно затем пользоваться этим «равным числом». В данном случае все числа, стоящие в правом столбце, взаимно просты, кроме одной пары: (2, 4). Общий наибольший делитель равен 2. Таким образом, «сокращается» двойка, а 4 остается без изменений. Иными словами, второе сравнение включает в себя четвертое, и, следовательно, им можно прене-
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed