Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> История -> Березкина Э.И. -> "Математика древнего Китая" -> 83

Математика древнего Китая - Березкина Э.И.

Березкина Э.И. Математика древнего Китая — М.: Наука, 1980. — 312 c.
Скачать (прямая ссылка): berezkina1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 131 >> Следующая

«Пусть в каждом столбце коэффициенты. Число вещей определяет чэн: если две вещи, то чэн [состоит] из двух [столбцов], если три вещи, то чэн из трех [столбцов ]; столбцы примыкают друг к другу рядами, поэтому и называется фан-чэн» [100, с. 221].
Детали построения таблицы показывают нам общность китайского метода решения систем линейных уравнений, а также трудности, с которыми сталкивался китайский математик из-за отсутствия символики.
У китайского вычислителя на счетной доске все числа становились отвлеченными. Как же тогда узнать, какое из них является коэффициентом при первой, второй и т. д. неизвестной, какое — свободным членом, тем более что может оказаться не один член с х, не один член с у, не один свободный член и т. д. Естественно было определить эти числа, привязав их к определенному месту, т. е. указать порядок их расположения. Для этого нам достаточно сообщить букве-коэффициенту индексы: а{р Ъл. Китайскому вычислителю приходилось поступать иначе. Надо было разместить числа-палочки по соответствующим рядам и колонкам, как это делаем мы с числами матрицы. Поэтому вычислитель должен был сначала выделить класс задач с системами канонического вида, так чтобы был один член с х, один с у, один свободный член в другой части уравнения.
Как и следовало ожидать, в «образцовой» задаче 1 книги VIII, на которой показан алгоритм, задана именно такая система. Кроме нее, в задачах 7 (п=2), 16 (тг=3), 17 (тг=4), 18 (тг=5) также заданы системы в приведенном виде, выполнения пункта 1 алгоритма не требуется. Во всех остальных задачах, прежде чем представить на доске матрицу системы, вычислитель должен произвести преобразование ее к каноническому виду. Какие виды преобразований применяются при этом, мы рассмотрим отдельно в § 6 этой главы. Таким образом, составляется таблица фан-чэн. Легко видеть, какие «индексы» получают в употребляемых здесь терминах ее «коэффициенты», как назвал Лю Хуэй числа прямоугольной матрицы. Так как дано «три вещи», то образуется три столбца хэн, или три направления фан, и четыре строки: для снопов хорошего урожая (в подлиннике «верхнего»), среднего и плохого (в подлиннике «нижнего») урожаев, последняя строка отводится для чисел ши, которые вы-
184
ражают меры зерна, эквивалентные этим снопам. Иными словами, г-м столбцам ставятся в соответствие уравнения и их свободные члены, а /-м строкам — неизвестные. Например, число ап описывается так: ю хэн шан хэ, т. е. верхний урожай в правом стоблце. Число а22 описывается словами: чжун хэп чжун хэ, т. е. средний урожай в среднем столбце. Число а33 описывается: цзя хэн ся хэ, т. е. нижний урожай в левом столбце.
В следующих задачах, не выходящих за пределы п=3, эта терминология работает без изменения, с поправкой для п=2 (опускаются средний столбец передняя строка). Что касается всех остальных задач, то в подлиннике нет подробного текста правил, и потому мы не знаем, какая терминология употреблялась в «Математике в девяти книгах» для матриц более высокого порядка. Математик XIII в. Ян Хуэй, разбирая методы древних, употреблял общую терминологию для чисел таблицы. Столбцы у него обозначаются циклическими знаками: столбец А (цзя хэн), столбец Б (и хэн) ит. д., коэффициент при х объявляется первым, головным (шоу вэй) [150, с. 116]. Однако последний термин применялся гораздо ранее, еще Лю Хуэем в его комментариях к задачам книги VIII. У Лю также уже существует общая терминология: столбцы он нумерует: 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, а называет коэффициентами (люй) [100, с. 221—222].
Отсюда можно заключить, что метод построения таблицы в общем виде был усвоен во всяком случае не позднее чем; во времена Лю Хуэя и, наверное, даже гораздо ранее. Метод был применим для сколь угодно большого п. Не случайно в первой задаче книги VIII «Математики в девяти книгах» взято не два, а три уравнения, хотя около половины систем книги VIII содержали два уравнения. Составители трактата выбрали некий «средний» пример, для наглядности не очень громоздкий и для общности не слишком простой. Заметим, что всякий раз при вводе новых условий (отрицательных чисел, однородного уравнения и т. п.) используется система при лг = 3 (ср. задачи 3, 8). Последние задачи начиная с 12-й уже имеют дело с системами только из трех, четырех, пяти уравнений. Таким образом, задачи расположены так, что после установления алгоритма для линейных систем канонического типа, затем для различных произвольных систем и т. д. предлагают применить правила и к системам более высокого порядка.
Мы видим, что отсутствие символики компенсировалось специальным техническим языком в применении к некоторой достаточно общей схеме в стандартном примере. Подчеркнем еще раз: дости^ жение общности метода облегчалось тем, что вычислитель все время имел дело с отвлеченными числами на счетной доске независимо от терминологии задач. Общее правило существовало, но для его описания в общем виде не хватало средств. Разумеется, рассматривались только совместные системы; рассматривались и неопределенные системы, такова задача 13 (она, правда, единственная) книги VIII «Математики в девяти книгах», содержащая систему из пяти уравнений с шестью неизвестными (см. ниже § 9).
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed