Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
169
бречь. Китайская схема оказывается следующей:
1 1 1 1
1 3 • 1 4
Далее, опять-таки согласно общему правилу, хотя решение очевидно, находятся числа М{ так, как это было описано выше. Схема следующая:
12 1 12 1
4 3 3 4
Очевидно, эта схема заменяется такой:
1 1 1 1 1 3 3 4
при помощи, как говорит Цинь, «полного вычитания (манъ цюй) т{ из М{ в сравнениях: MiM\ =1 (mod т(). Таким образом, остается решить сравнение
3M; = l(mod4).
Решение проводится с помощью непрерывных дробей [27]. Действительно, здесь тривиально
1-1+1
но решение проведено согласно общему правилу. Таким образом,
Ml=3 (mod 4).
Остальные задачи на системы сравнений книги Циня посвящены самым разным темам. В задаче 2 первого свитка проведены календарные расчеты; в задаче 3 описывается строительство плотины на средства крестьян деревень А, Б, В, Г; задача 4 посвящена денежным расчетам семи казначейств. Следующая задача 5 (в нашей нумерации), т. е. первая задача второго свитка, известна в литературе своим условием [81, с. 89; 147, с. 93] 17.
Здесь проводится сравнение некоторого количества зерна с местными ценами [142, с. 399—400]. В задачах 6 и 7 взаимодействуют скороходы, в задаче 8 показана конечная арифметика у каменщика, измеряющего кирпичами разного рода ширину и глубину фундамента, которые следует найти. Наконец, последнюю задачу приведем полностью.
В ней «по остаткам зерна вычисляется его количество» (юй ми туй шу).
г? В данных изданиях вкралась опечатка: в первом сравнении модуль равен не 82, а 83.
170
«Задача. Имеется зерновая лавка. Поступила жалоба, что из нее украли три корзины зерна. Все они были полными, [но] не было зафиксировано точное количествэ зерна. В корзине у левой стены остался 1 гэ [зерна], в корзине, стоящей посредине [лавки], остался 1 шэн 4 гэ, в корзине у правой стены остался 1 гэ. Воров поймали, их было трое: А, Б, В. А рассказал, что тогда ночью [он] на-ощупь черпал [зерно] из корзины у левой стены полным лошадиным ковшом, пересыпая в полотняный мешок. Б рассказал, что [он] из корзины, стоящей посредине, перечерпал [зерно] в мешок деревянным башмаком. В рассказал, что [он] из корзины у правой стены наощупь перечерпал [зерно] в мешок пиалой, [покрытой] черным лаком. Вернувшись домой, [они] стали его есть. Сколько дней [они ели] и какое количество съели, неизвестно. Эти три посудины нашли: лошадиный ковш в полном объеме [дает] 1 шэн 9 гэ, деревянный башмак емкостью в 1 шэн 7 гэ, лакированная пиала емкостью в 1 шэн 2 гэ. Как узнать количество пропавшего зерна и подсчитать, сколько каждый из грабителей утащил [зерна]?
Ответ: всего пропало зерна 9 даней 5 доу 6 шэнов 3 гэ; зерно А — 3 даня 1 доу 9 шэнов 2 гэ, зерно Б — 3 даня 1 доу 7 шэнов 9 гэ, зерно В — 3 даня 1 доу 9 шэнов 2 гэ» [105, с. 50—51].
В современной записи задана система
х = 1 (mod 12), х = 14 (mod 17), x = l (mod 19)
со™ взаимно простыми модулями 7^=12, ттг2—17, пг3=19. Их произведение
Пт?г, = 3876,
а числа М4 (числа янь) в произведении с тгг,. дают т<Мг = 3876 = 12 - 323 = 17 - 228 = 19 . 204.
Следует теперь решить систему
323М; = 1 (mod 12), 228М;==1 (mod 17), 204М; = 1 (mod 19), которая эквивалентна следующей:
11М;==1 (mod 12), 7М; = 1 (mod 17), 14М;==1 (mod 19),
где числа М/ определяются подбором, они равны соответственно 11, 5, 15. Общее число получается в виде
*0=323.11.1+228.5.14+204.15.1=22573,
171
и решение
х=х0 (mod 3876)=3193 (mod 3876).
Здесь числа юн будут равны 323*11, 228-5, 204-15,
Задача Сунь-цзы обошла весь мир. Она или ей подобные встречаются в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202), в одной византийской рукописи XIV в., в немецких рукописных арифметиках XV в. и в русских арифметических рукописях XVII в. На нее часто ссылаются в современной математической литературе (например, [32]). Теория решения сравнений была разработана Л. Эйлером (публ. 1740) и окончательно К. Ф. Гауссом в его знаменитых «Арифметических исследованиях» (1801).
Что касается других теоретико-числовых задач, то следует упомянуть магические квадраты. Некоторые такие квадраты встречаются в очень древних источниках [150, с. 55—62]. Известно, что магические квадраты рассматривал Ян Хуэй (1275) и другие более поздние авторы Китая и Японии. В истории математики известно, что их рассматривал также во II в. н. э. Теон Смирнский и многие средневековые арабские и византийские ученые.
Существовали и другие неопределенные задачи с не единственным решением. Такова известная «задача о птицах» из трактата Чжан Цю-цзяня, имеющая такую же «всемирную» историю, как задача Сунь-цзы (см. п. 6 ч. I). В древней «Математике в девяти книгах» имеются задачи, в которых используются тройки пифагоровых чисел. Весьма возможно, что древние китайцы, подобно древним вавилонянам, умели решать неопределенное уравнение второй степени
X2-\-y2=z2
и находили решения
а2 — S2 а2 _|_ Q2
х — —у = сф, z = —
где а, й — целые числа.
Часть четвертая АЛГЕБРА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Алгебраические методы характерны для китайской математики. Недаром ее считают в противоположность греческой проявлением алгебраического духа китайского математического интеллекта [150, с. 112]. Вычислительно-алгоритмический характер, свойственный китайской математике [80, с. 350—357], несомненно стимулировал алгебраизацию методов. Ими пронизаны и геометрические задачи, примером может служить книга IX «Математики в девяти книгах».
