Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Впрочем, в дальнейшем Лю Хуэй и Сунь-цзы усовершенствовали этот способ, быть может, потому, что в III—IV вв. н. э. бумага уже получила распространение и, вероятно, вычисления стали производиться на бумаге. Оба автора в своих описаниях правила отказались от многократного вычитания и нарушили тем самым «неприкосновенность» столбцов после преобразований. Лю Хуэй показал это на задаче 7 книги VIII, а Сунь-цзы — на задаче 10, взятой из той же книги «Математики в девяти книгах». Лю Хуэй сделал это непосредственно в комментарии к задаче, Сунь-цзы перенес задачу в свое сочинение, упростив при этом условие задачи. В качестве наиболее яркого примера приведем трактовку правила, которую дает Сунь-цзы. Чтобы не загромождать решение дробными значениями, Сунь-цзы «подправляет» свободные члены, заменив 50 на 48, все внимание уделяя самому методу:
«Имеются два человека А и Б, они получили цяни, количество у каждого неизвестно. Можно дополнить до 48, если А получит среднюю половину цяней Б; можно дополнить также до 48, если Б получит большую половину цяней А. Спрашивается, сколько цяней получил каждый из двух первоначально?
' 1 0 0>
2 1 4
3 5 8 .26 18 39,
' 1 0 0\
2 1 0\
3 5 12 ,26 18 33/,
188
Ответ: А получил 36 цяней, Б — 24 цяня» [49, с. 37, задача 28].
«Средняя половина» означает 1/2, «большая половина» — 2/3.
Следовательно, задана система
«В Математике в девяти книгах» нет решения этой задачи, а в комментариях Лю Хуэя указано лишь преобразование заданной системщик каноническому виду. У Сунь-цзы же мы находим весьма подробное описание, настолько подробное, что по нему стало возможно установить детали, весьма любопытные.
Правило непосредственно начинается с составления матрицы системы:
Мы не будем цитировать это место. Далее идут преобразования матрицы:
«Числа левой строки умножь на 2 из правой строки. В левой строке: вверху получится 4 для А, в середине получится 6 для Б, внизу получится 288 цяней. [Числа правой строки] умножь на 2 из левой строки. В правой строке: вверху получится 4 для А, в середине получится 2 для Б, внизу получится 192 цяня. [Числа] правой строки вычитай из [чисел] левой строки» [49, с. 37]. Правило настолько ясно, что комментарии к нему не нужны. Очевидно, что в данном случае излишни умножения чисел таблицы. Нуль можно было получить, непосредственно вычитая числа правого столбца из соответствующих чисел левого столбца. Термин для многократного вычитания «образуй остатки» (чжи чу) уже не нужен, но потребовался термин для обозначения отсутствующего коэффициента: «пустота» (кун). При многократном вычитания просто говорили: «вычитай до тех пор, пока ничего не останется».
> Заметим, что значения хну Сунь-цзы сделал целыми, и потому он находит их просто из уравнений, а не по рекуррентным формулам. Здесь он отходит от общего алгоритма:
«Слева вверху пусто, в середине остаток 4 для Б, возьми [его] в качестве делителя; внизу остаток 96 цяней, возьми [его] в качестве делимого. Делитель наверху, делимое внизу, получишь 24 цяня, это цяни Б. Вычти [это] из 96, [стоящего] внизу справа, остаток 72 является делимым. Делителем является 2 для А, [стоящее] вверху справа. Делитель вверху, делимое внизу, получишь 36, это цяни А>.
^х + у = 48.
189
Это место любопытно тем, что здесь единственный раз подробно сообщается о нахождении х и у. Из таблицы
сразу видно, что #=96/4=24. Подставляя значения у в первое уравнение, получают, вероятно, таблицу
откуда х=72/2=36. Об этом и говорит последняя фраза правила, подчеркивая, что (внимание, вычислитель!) в отличие от обычного «делимое внизу, делитель наверху».
У Лю Хуэя в задаче 7 таблица заданной системы
Особенно заметна формализация в решении задач у Чжана Цю-цзяня. Приводится три задачи (12—14) в последней книге трактата на системы линейных уравнений, которые достаточно привычны читателю «Десятикнижья» [51, с. 50—52]. Так, задача 12 тождественна задаче 1 книги VIII «Математики в девяти книгах», изменены лишь свободные члены, чтобы решение системы было в целых числах. Задача 13, аналогичная 26 средней книги трактата Сунь-цзы, также отличается только свободными членами. Но у Сунь-цзы такая задача решена не матричным методом. Задача 14 Чжана Цю-цзяня сходна как с задачей 10 книги VIII «Математики в девяти книгах», так и с задачей 28 последней книги трактата Сунь-цзы.
Правило Чжан Цю-цзянь не формулирует. В вычислениях же, не принадлежащих, вообще говоря, автору, несколько иная последовательность, чем та, которая определена правилом фан-чэн из «Математики в девяти книгах». Покажем это на задаче 12 из по-ледней книги трактата Чжан Цю-цзяня, в которой речь идет о парче высшего, среднего и низшего качества и о ее эквиваленте — тафте. Не приводя условия задачи [51, с. 50], укажем, что для отыскания искомых величин х, у, ъ следует решить систему
претерпевает следующие изменения:
Зх 2г/ + * = 45, 2я + Зг/-И = 43, х-{-2у -\-3z~ 35.
190
В тексте лишь указано на применение матричного метода: «Способ: составь таблицу», т. е.
/3 6 3\ / 0 0 3\ / 00 3\ / 00 3\
