Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Достижения китайских алгебраистов — наиболее известная часть истории математики в Китае, известная, однако, далеко не в полной мере. В этой области мы находим удивительные по своей общности и их раннему возникновению в истории науки результаты — предвосхищение нынешних вычислительно-алгебраических методов.
Неоднократно отмечалось, что в XIII—XVI вв. в Китае был окончательно разработан метод численного решения уравнений высших степеней, который носил название «метода небесного элемента» (тянъ юань шу), а позднее в математической литературе получил название «метода Горнера». Этот метод был создан в работах китайских алгебраистов Цинь Цзю-шао, Ли Е, Чжу Ши-цзе и др. В начале XIX в. итальянец П. Руффини (1804, 1813) и англичанин У. Горнер (1819) независимо друг от друга вновь открыли этот метод.
Каким образом и на какой основе был впервые разработан этот метод? На этот вопрос можно ответить, рассмотрев трактаты «Де-сятикнижья». Историки математики указали истоки метода из процедуры извлечения корней, описанной еще в «Математике в девяти книгах» [172]. В этом же сочинении и в трактате Чжан Цю-цзяня метод применяется для гг=2. В VIII в. Ван Сяо-туном он. был применен для п = 3 и т. д.
Но дело не столько в этом правиле извлечения корней и решении, уравнений высших степеней, сколько в общей алгебраизации древнекитайской науки, приведшей к блестящему результату, в формах этой алгебраизации и причинах ее развития. Такие вопросы прежде всего стояли перед автором книги при исследовании древнекитайских текстов. Эти главы — попытка ответить на них.
«Математика в девяти книгах» весьма насыщена алгебраическими методами. Наиболее значительным из этих методов является общий алгоритм решения систем линейных уравнений в книге
173
VIII — самой совершенной из книг древнего сочинения, однородной по содержанию, стройной по композиции, лаконичной по изложению [90, 107].
Прежде чем перейти к изложению алгебраических методов древнего и средневекового Китая, необходимо сделать одну оговорку: термина «алгебра» в древнекитайской математике, конечно, не было. На начальных этапах развития математика не разделялась даже на арифметику, геометрию и алгебру. Мы прибегаем к этим терминам при изучении методов древних, так как в различных задачах, часто объединенных в древних текстах только по тематике, но не по методам, мысль древнего ученого все же искала общность не в форме, а в математическом содержании. Мы отбрасываем традиционную форму и обнажаем те пути, которым следовала интуиция древнего математика. Существо алгебраических методов часто приходится улавливать сквозь вычислительную форму, в которой представлены правила решения древних задач. Поэтому мы рассматриваем в этой главе не только книги VII и VIII из «Математики в девяти книгах» в качестве основных, содержащих задачи на решение линейных систем, что сразу же их определяет как «алгебраические», но и книгу IX, содержащую геометрические задачи, решаемые алгебраическими методами, а также привлекаем методы других, «арифметических» книг трактата и отдельные задачи из других сочинений.
Заметим, что древняя алгебра излагалась словесно, без символики. Специальные термины выражали смысл операций достаточно четко, но основная задача символики, не только краткая запись некоторых выражений, но и возможность оперировать с символами, при этом, конечно, не выполнялась. Китайцы всякий раз производили действия на счетной доске с конкретными числами, но по определенным для каждого типа задач общим алгоритмам, сформулированным в виде правил.
Глава первая
линейные системы
1. Тождественные преобразования
В древнекитайских математических сочинениях широко применялись тождественные преобразования. Это свидетельствует в первую очередь о сравнительно высоком уровне развития науки алгебры в древнем Китае, таком же, как в древней Месопотамии.
На самом деле, чтобы проводить тождественные преобразования, необходимо иметь алгебраическое понятие неизвестной, т. е. искомую величину рассматривать как существующую наряду с данными величинами еще до того, как она вычислена. Кроме того, надо
174
уметь составлять соотношения (уравнения) между ними. После этого можно равноправно оперировать с неизвестными и известными величинами: приводить подобные члены, переносить члены из одной части равенства в другую и т. п., т. е. преобразовывать уравнения с сохранением их эквивалентности. С. А. Яновская писала: «Таким образом, производятся операции по определенным правилам уже не с числами, а с выражениями, содержащими „неизвестные", и притом именно с такими выражениями, которые имеют вид равенств (с „уравнениями"). Правда, ни термина „уравнения", ни правил, в явной форме относящихся к оперированию с выражениями, содержащими „неизвестные", а не только числами,
Юли
Рис. 10
в „трактате" нет» [49, с. 21]. И далее: «Всегда приходится восстанавливать путь рассуждений древнего математика, позволявших ему преобразовывать одни выражения в другие: сводить последовательно одну задачу к другой вплоть до получения задачи канонического вида, которая уже решается с помощью алгоритма, построенного для решения любой задачи данного класса и состоящего в сведении решения задачи к последовательности шагов, каждый из которых состоит в выполнении некоторой арифметической операции, хотя бы последняя сама по себе и была отнюдь непростой» [Там же].
