Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Подтвердим эти общие положения на примере создания одного из самых красивых методов древней математики: матричного метода решения линейных систем
4. Линейные системы. Метод Гаусса
Метод решения линейных систем был предложен К. Ф. Гауссом в XIX в. и под этим именем широко известен современным математикам. Существует несколько схем решения систем по этому ме-
181
тоду, одна из которых, в точности совпадающая с древнекитайской, называется «схемой умножения и вычитания».
В настоящее время этот метод Гаусса относят к точным в отличие от итерационных, поскольку решение задачи получается «при помощи конечного числа элементарных арифметических операций. При этом, если исходные данные, определяющие задачу, заданы точно (например, если они целые или рациональные числа, представленные в виде обыкновенных дробей) и вычисления выполняются точно (например, по правилам действий над обыкновенными дробями), то решение тоже получается точное» [68, с. 137].
В эпоху применения электронных машин область решаемых систем, конечно, сколь угодно большая и она не исчерпывается только теми «хорошими» системами, которые рассматривали древние китайцы, имевшие в своем распоряжении примитивный счетный прибор в виде доски со счетными палочками.
Методу решения линейных систем п уравнений с п неизвестными посвящена книга VIII «Правило фан-чэн» «Математики в девяти книгах». Аналогичные задачи в небольшом числе встречаются и в других трактатах «Десятикнижья». Решают линейные системы также математики средневекового Китая. Восемнадцать различных, но однотипных задач из «Математики в девяти книгах» подобраны так, чтобы в полной мере показать, как работает метод. Хотя правило приводится всего лишь однажды, только к первой задаче книги, оно сформулировано достаточно общо. Судя по нему и материалу книги VIII, нельзя не прийти к заключению, что метод решения линейных систем был разработан китайскими математиками к началу н. э. в виде общего алгоритма, применимого к любой задаче данного класса.
Чтобы оценить достижение китайцев в этой области и сделать это быстро в обозримых пределах, изложим содержание китайского алгоритма в современной символике.
1. Заданная в условии произвольная система уравнений приводится к каноническому виду
а11Х1 Ч" а12Х2 ~Ь • • • Ч~" а1пХп = ^1» а21Х1 Ч~ а22Х2 Ч~ • " • Ч~ а2пХп=^2У
ап1Х1 + ап2Х2 + • • • Ч" атХп = К
2. Из коэффициентов этой системы агр Ъ1 составляется расширенная матрица, первая строка которой (но китайская, т. е. по-нашему правый столбец) соответствует 1-му уравнению, 2-я строка (предпоследний столбец) — второму и далее аналогично:
• • а21а11 . • #22^12
<*»Ри
Ь2 Ьх
182
3. Таблица приводится к треугольному виду при помощи преобразований, являющихся по своему характеру элементарными, оставляющими систему эквивалентной данной. В результате в левом верхнем углу над диагональю образуются нули:
(К.. О а11}
О . . . ^12
а2п а1п
.. в2 V
4. Из полученной треугольной таблицы находится решение системы по рекуррентным формулам последовательно от последнего неизвестного к первому:
X • =--»
где
и> = хАп (1 = П — 1, . . 1),
хп = К1а>пп> ип = Вп при 1 = п.
При этом необходимо помнить, что здесь изложена лишь современная интерпретация древнекитайского правила, а вычислитель эпохи «Математики в девяти книгах» имел дело не с нашими буквенными уравнениями, а с набором чисел на счетной доске. Учитывая это обстоятельство, мы покажем конкретно, как применялся китайский метод решения линейных систем, насколько он был общим и одновременно какие ограничения содержал, что, собственно, отличало его от метода решения систем при помощи определителей г предложенного Г. Крамером в 1750 г. в его знаменитом «Введении в анализ кривых линий».
Поправки к современной интерпретации алгоритма, нужные для того, чтобы избежать опасной модернизации метода, введут ьнас непосредственно в «мастерскую» китайского математика.
5. Китайская матрица
Первая поправка заключается в том, что пункт 1 алгоритма в действительности не является первой операцией, проводимой вычислителем на счетной доске. Приведение к каноническому виду происходило в виде специального рассуждения, образно говоря, «на ходу». Первым же актом, который совершал вычислитель, было составление расширенной матрицы системы канонического вида, что входит в пункт 2 алгоритма. Ее коэффициенты, а отнюдь не коэффициенты заданной в условии задачи системы изображал он счетными палочками на доске. Приведением каноническому виду содержалось в виде подготовительных действий, которые дополнительно разъяснялись в правилах к задачам, но уже после того, как было сделано основное указание о составлении матрицы.
183
Действительно, все без исключения правила книги VIII, какими бы они ни были, большими или маленькими, с краткими или длинными пояснениями, — все начинаются с фразы: жу фан чэн.
Теперь трудно определить, что точно означал иероглиф чэн, но в современном языке есть слова, в которые этот иероглиф входит и которые могут помочь понять его значение. Например, кэчэн, где кэ — «урок», означает «учебный план», «учебную сетку». Вероятно, специальная фраза китайского правила буквально обозначала выстраивание заданных чисел по направлениям фан в определенном порядке, так чтобы получалась таблица, сетка чэн. Еще Лю Хуэй в III в. старался пояснить, что такое чэн. В комментарии к заголовку правила фан-чэн он раскрывает смысл этого термина.
